Амперметр в схеме

Раз сопротивление амперметра равно нулю, он соединяет проводом два узла схемы. Перерисуйте схему, объединив эти узлы, и найдите ток источника.

Амперметр покажет \(3\text{ А}\).

Что происходит. Идеальный амперметр — провод: два узла, которые он соединяет (нижний узел схемы и правый), имеют одинаковый потенциал. Поэтому правое из трёх сопротивлений по \(10\text{ Ом}\) оказывается включённым параллельно вертикальному. Идея — найти сопротивление всей цепи, затем токи в ветвях, а ток амперметра собрать по закону сохранения тока в узле.

Обозначения. На рисунке: \(A\) — левый узел, \(B\) — средний, \(N\) — нижний узел (он же правый). Сопротивления: левое \(R_2=10\text{ Ом}\), правое \(R_3=10\text{ Ом}\), вертикальное \(R_1=10\text{ Ом}\), верхнее \(15\text{ Ом}\), напряжение источника \(U=30\text{ В}\).

1. Эквивалентная схема. Узел \(N\) и правый узел соединены проводом (амперметром), поэтому \(R_1\) и \(R_3\) соединены параллельно между узлами \(B\) и \(N\): \[R_{13}=\frac{R_1R_3}{R_1+R_3}=5\text{ Ом}.\] Вместе с \(R_2\) (последовательно) получаем ветвь \(R_2+R_{13}=15\text{ Ом}\), параллельную верхней ветви \(15\text{ Ом}\) (схема перерисована): \[R=\frac{15\cdot15}{15+15}=7{,}5\text{ Ом}.\]

2. Ток источника. По закону Ома для всей цепи \(I_0=\dfrac UR=\dfrac{30}{7{,}5}=4\text{ А}\).

3. Токи в ветвях. К обеим ветвям по \(15\text{ Ом}\) приложено одно и то же напряжение \(30\text{ В}\) источника, поэтому токи в них равны: по \(2\text{ А}\). В ветви с \(R_2\) ток \(2\text{ А}\) далее в узле \(B\) делится поровну между \(R_1\) и \(R_3\) (их сопротивления равны и они подключены к одним и тем же узлам): \(I_1=I_3=1\text{ А}\).

4. Ток амперметра. Запишем закон сохранения заряда для нижнего узла \(N\): ток источника \(I_0=4\text{ А}\) входит в узел, выходят ток через \(R_1\) (\(1\text{ А}\)) и ток через амперметр: \[I_{\text{А}}=I_0-I_1=4-1=3\text{ А}.\] То же получается для правого узла: в него приходит ток амперметра, а уходят \(2\text{ А}\) в верхнюю ветвь и \(1\text{ А}\) через \(R_3\): \(I_{\text{А}}=2+1=3\text{ А}\).

Обратите внимание: амперметр измеряет не ток источника (\(4\text{ А}\)) и не ток через \(R_3\) (\(1\text{ А}\)), а сумму токов верхней ветви и \(R_3\), потому что через него замыкаются обе ветви. Ответ «\(1\text{ А}\)» или «\(2\text{ А}\)» получается, если принять амперметр за разрыв цепи.

Ответ. \(I_{\text{А}}=I_0-I_1=3\text{ А}\).

Проверка. Баланс мощностей: источник отдаёт \(UI_0=30\cdot4=120\text{ Вт}\); на резисторах выделяется \(15\cdot2^2+10\cdot2^2+10\cdot1^2+10\cdot1^2=60+40+10+10=120\text{ Вт}\) — сходится. Второй способ для тока амперметра: потенциалы относительно \(N\): \(\varphi_A=30\text{ В}\), \(\varphi_B=\varphi_A-I_2R_2=10\text{ В}\), ток через \(R_3\) равен \(\varphi_B/R_3=1\text{ А}\) (он течёт к правому узлу), а в верхней ветви \(30/15=2\text{ А}\); оба тока замыкаются амперметром: \(3\text{ А}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.