Два шарика на пружинке у стенки

Первый удар меняет скорость только ближнего шарика, а пружина в этот момент не деформирована. Перейдите в систему центра масс: что в ней делают шарики, и где окажется ближний шарик через половину периода?

Удары о стенку двойные: правый шарик отскакивает, пружина сжимается (наибольшее сжатие \(v_0\sqrt{2m/k}\)), распрямляется, и через половину периода \(\pi\sqrt{m/(2k)}\) правый шарик ударяется о стенку второй раз. После этого оба шарика движутся от стенки со скоростью \(v_0\), пружина не деформирована, колебаний нет.

Что происходит. Время удара пренебрежимо мало, поэтому в момент первого удара пружина не деформирована, и стенка меняет скорость только правого шарика: \(+v_0\to-v_0\). После этого сумма импульсов шариков равна нулю, пока правый шарик не вернётся к стенке, — центр масс неподвижен, а шарики колеблются относительно него. Главная идея — колебания в системе центра масс и симметрия: за половину периода всё приходит в то же положение, но с обращёнными скоростями.

Обозначения. \(m\) — масса шарика, \(k\) — жёсткость пружинки, \(l_0\) — её длина без деформации, \(v_0\) — начальная скорость (к стенке). Сжатие пружинки \(\xi\), положительное при сжатии.

1. Первый удар. Время удара много меньше периода, значит, за него пружина не успевает деформироваться и на левый шарик не действует. Удар абсолютно упругий: скорость правого шарика меняется на противоположную, \(-v_0\), скорость левого остаётся \(+v_0\) (рис. б).

2. Движение после удара. Теперь стенки у правого шарика нет (он движется от неё), внешние горизонтальные силы отсутствуют, поэтому закон сохранения импульса системы даёт \(mv_0-mv_0=0\): центр масс покоится. Шарики приближаются друг к другу с относительной скоростью \(2v_0\), и пружина сжимается. Запишем второй закон Ньютона для каждого шарика (ось направлена к стенке) и вычтем уравнения: сжатие пружинки подчиняется уравнению \[\frac m2\,\ddot\xi=-k\xi,\qquad \xi(0)=0,\quad \dot\xi(0)=2v_0 ,\] то есть гармоническим колебаниям с частотой \(\omega=\sqrt{2k/m}\) (приведённая масса двух одинаковых шариков равна \(m/2\)): \[\xi(t)=\frac{2v_0}{\omega}\sin\omega t,\qquad \xi_{\max}=\frac{2v_0}{\omega}=v_0\sqrt{\frac{2m}{k}} .\] Скорости шариков относительно неподвижного центра масс: левый \(v_0\cos\omega t\) (к стенке), правый \(-v_0\cos\omega t\). В момент наибольшего сжатия оба шарика на мгновение останавливаются (рис. в).

3. Через половину периода. При \(\omega t=\pi\) сжатие снова нулевое, скорости обратились: левый шарик \(-v_0\), правый \(+v_0\) (рис. г). Центр масс всё время стоял на месте, расстояние между шариками равно \(l_0\), как в момент первого удара, поэтому правый шарик в этот момент ровно у стенки и ударяется о неё второй раз. Это время \(t=\pi/\omega=\pi\sqrt{m/(2k)}\).

4. Второй удар. Скорость правого шарика меняется с \(+v_0\) на \(-v_0\) при недеформированной пружине. Теперь оба шарика движутся от стенки со скоростью \(v_0\) (рис. д), пружина не растянута и не сжата, относительной скорости нет — система движется как целое, колебаний нет.

Обратите внимание: колебания не остаются в системе после ухода от стенки: второй удар происходит именно тогда, когда пружина снова не деформирована, и он «обнуляет» относительную скорость. Если бы пружина была в этот момент деформирована, система ушла бы от стенки с колебаниями.

Ответ. Соударение системы со стенкой состоит из двух ударов правого шарика, разделённых временем \(\pi\sqrt{m/(2k)}\); между ударами пружинка сжимается на \(v_0\sqrt{2m/k}\) и распрямляется. После удара шарики движутся от стенки как одно целое со скоростью \(v_0\) без колебаний.

Проверка. Энергия: до удара \(mv_0^2\) (два шарика по \(mv_0^2/2\)), при наибольшем сжатии \(\dfrac{k\xi_{\max}^2}{2}=\dfrac k2\cdot\dfrac{2mv_0^2}{k}=mv_0^2\) — вся кинетическая энергия перешла в упругую; после — снова \(mv_0^2\). Импульс: система до \(2mv_0\) к стенке, после \(2mv_0\) от стенки; изменение \(4mv_0\) равно сумме импульсов двух ударов, по \(2mv_0\) каждый.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.