Выстрел из лука

Энергия стрелы равна работе силы со стороны тетивы. Эта сила — равнодействующая натяжений двух половин тетивы: она растёт пропорционально оттяжке \(h\), поэтому берём её среднее значение.

\(H=\dfrac{2Th_0^2}{l\,mg}\approx6{,}4\text{ м}\) (при \(g=10\text{ м/с}^2\) — \(6{,}25\text{ м}\)).

Что происходит. Оттянутая тетива разгоняет стрелу, пока не выпрямится; вся работа силы тетивы идёт в кинетическую энергию стрелы, а затем — в потенциальную энергию в верхней точке. Главная идея — найти работу силы, которая меняется пропорционально оттяжке, и приравнять её \(mgH\).

Обозначения. \(T=250\text{ Н}\) — сила натяжения тетивы (постоянная по условию), \(h\) — оттяжка (расстояние от середины тетивы до линии, соединяющей концы лука), \(\alpha\) — угол между половиной тетивы и этой линией, \(H\) — высота подъёма.

1. Сила, действующая на стрелу. Стрелу толкает равнодействующая \(\vec F\) натяжений двух половин тетивы. Обе силы равны \(T\) и составляют с линией \(AB\) угол \(\alpha\); их горизонтальные составляющие взаимно уничтожаются, вертикальные складываются: \[F=2T\sin\alpha .\] Оттяжка мала по сравнению с длиной (\(h\ll l\)), угол мал, поэтому \(\sin\alpha\approx\tan\alpha=\dfrac{h}{l/2}\) и \[F=\frac{4Th}{l} .\]

2. Работа этой силы. Сила растёт линейно от нуля до \(F_0=4Th_0/l\) по мере оттяжки, поэтому работа за всё движение стрелы до выпрямления тетивы равна произведению среднего значения силы \(F_{\text{ср}}=\dfrac{F_0}{2}\) на путь \(h_0\) (площадь треугольника на графике): \[A=\frac{F_0}2\,h_0=\frac{2Th_0^2}{l}=\frac{2\cdot250\cdot0{,}05^2}{1}=1{,}25\text{ Дж}.\]

3. Энергия. Закон сохранения энергии для стрелы за время от выстрела до верхней точки: работа силы тетивы идёт в потенциальную энергию (в верхней точке скорость равна нулю), сопротивлением воздуха пренебрегаем: \[A=mgH \quad\Rightarrow\quad H=\frac{2Th_0^2}{l\,mg}.\] Подставляем числа: \[H=\frac{1{,}25}{0{,}02\cdot9{,}8}\approx6{,}4\text{ м}.\]

Обратите внимание: сила тетивы не постоянна: \(T\) постоянно, а \(F=4Th/l\) убывает до нуля при выпрямлении тетивы. Если взять \(F_0\,h_0\) без множителя \(\tfrac12\), ответ завышен вдвое. Подъём стрелы на \(h_0=5\) см за время разгона даёт поправку менее \(1\%\) и в оценке не учитывается.

Ответ. \(H=\dfrac{2Th_0^2}{l\,mg}\approx6{,}4\text{ м}\) (при \(g=10\text{ м/с}^2\) получается \(6{,}25\text{ м}\), как в книге).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{м}\cdot\text{кг}\cdot\text{м/с}^2}=\text{м}\). Второй способ: скорость вылета \(v=\sqrt{2A/m}=\sqrt{2\cdot1{,}25/0{,}02}\approx11\text{ м/с}\), высота \(v^2/(2g)=125/19{,}6\approx6{,}4\text{ м}\). Правдоподобно: стрела с энергией около \(1\text{ Дж}\) поднимается на метры; \(H\propto h_0^2\), при \(h_0\to0\) высота стремится к нулю. Угол: \(\tan\alpha=0{,}1\), ошибка замены \(\sin\alpha\) на \(\tan\alpha\) около \(0{,}5\%\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.