Нагрев запаянной U-образной трубки

Над водой в обоих коленах насыщенный водяной пар одного и того же давления. Чем тогда определяется разность уровней? Как изменится давление воздуха в запаянном колене при нагревании?

\(h\approx h_0\dfrac{T}{T_0}\approx13\text{ м}\), где \(h_0=p_0/(\rho g)\approx10\text{ м}\) — исходная разность уровней.

Что происходит. В левом колене над водой пустота, в которой только насыщенный пар воды; в правом — воздух и тоже насыщенный пар воды. Давление пара над поверхностью воды зависит только от температуры, поэтому в обоих коленах оно одинаково, и разность давлений в коленах равна давлению воздуха. Гидростатика: \(\rho gh=p_{\text{возд}}\), а воздух при нагревании в запаянном колене подчиняется закону газа.

Обозначения. \(T_0=293\text{ К}\) (\(20\,^\circ\)C), \(T=373\text{ К}\) (\(100\,^\circ\)C); \(p_0\) — давление воздуха при \(T_0\) (атмосферное), \(p\) — при \(T\); \(h_0\), \(h\) — разности уровней при \(T_0\) и при \(T\); \(l_0\), \(l\) — длины воздушного столба в правом колене, \(S\) — сечение трубки.

1. Исходное состояние. Сравним давления в воде на одном горизонтальном уровне — на уровне правой поверхности воды. Слева это давление пара над левым уровнем плюс вес столба воды высотой \(h_0\): \(p_{\text{п}}+\rho gh_0\); справа — давление воздуха и пара над поверхностью: \(p_0+p_{\text{п}}\). Приравниваем: \[\rho gh_0=p_0\quad\Rightarrow\quad h_0=\frac{p_0}{\rho g}\approx\frac{10^5}{10^3\cdot9{,}8}\approx10\text{ м}.\]

2. После нагревания. Тем же рассуждением \(\rho gh=p\) (пар по-прежнему насыщенный в обоих коленах, его давление сокращается). Масса воздуха в правом колене постоянна, поэтому уравнение состояния воздуха (\(pV/T=\text{const}\), \(V=lS\)) даёт \[\frac{p_0l_0S}{T_0}=\frac{p\,lS}{T}\quad\Rightarrow\quad p=p_0\frac{T}{T_0}\frac{l_0}{l}.\] Правый уровень опустился, левый поднялся на столько же (вода несжимаема), поэтому \(l-l_0=\dfrac{h-h_0}{2}\).

3. Разность уровней. Подставим \(p\) в \(h=p/(\rho g)\): \[h=h_0\,\frac{T}{T_0}\cdot\frac{l_0}{l_0+\tfrac12(h-h_0)} .\] Столб воздуха много длиннее смещения уровней (\(l_0\gg\tfrac12(h-h_0)\)), поэтому последней дробью пренебрегаем: \[h\approx h_0\frac{T}{T_0}=10\cdot\frac{373}{293}\approx12{,}7\approx13\text{ м}.\]

Обратите внимание: давление пара в ответ не входит — оно одинаково в обоих коленах и сокращается, хотя при \(100\,^\circ\)C оно равно атмосферному.

Принимаем, что исходная разность уровней \(h_0\approx10\) м, так как она задана давлением воздуха, равным атмосферному (так решают задачу и авторы олимпиады); напечатанное в условии число \(15\) м с этим не согласуется: при \(15\) м давление воздуха было бы \(1{,}5\) атм.

Ответ. \(h\approx h_0\dfrac T{T_0}\approx13\text{ м}\) (по исходному давлению воздуха, равному атмосферному: \(h_0\approx10\text{ м}\)).

Проверка. Размерность: \(\dfrac pg\rho\) — метры. Предел \(T\to T_0\): \(h\to h_0\). Знак: нагрев увеличивает давление воздуха, значит, разность уровней растёт. Не учтены расширение воды и стекла и изменение плотности воды (\(\approx4\%\) при \(100\,^\circ\)C).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.