Куб из проволоки

Куб симметричен: рёбер каждого «вида» несколько, и они равноправны. Сколько видов рёбер в кубе относительно точек \(A\) и \(B\) и какой ток течёт по каждому виду?

Любое из шести рёбер, подходящих к вершинам \(A\) и \(B\) (три ребра у \(A\) и три у \(B\)): сопротивление растёт с \(\frac56 r\) до \(\frac{11}{10}r\). Удаление любого из остальных шести рёбер даёт лишь \(\frac{9}{10}r\).

Что происходит. Куб симметричен относительно точек \(A\) и \(B\), и это упрощает расчёт: вершины, одинаково расположенные относительно \(A\) и \(B\), имеют равные потенциалы, и их можно соединить проводом — токи не изменятся. Рёбер относительно \(A\) и \(B\) ровно два вида: 6 рёбер, подходящих к \(A\) или \(B\), и 6 «средних» рёбер, лежащих между этими вершинами. Удаление любого ребра внутри вида даёт одно и то же сопротивление, поэтому достаточно сравнить два случая.

Обозначения. \(r\) — сопротивление ребра, \(I\) — общий ток, \(U\) — напряжение между \(A\) и \(B\), потенциал \(B\) принимаем за нуль. Вершины, соседние с \(A\), называем «ближними к \(A\)», соседние с \(B\) — «ближними к \(B\)».

1. Сопротивление целого куба. Три вершины, соседние с \(A\), равноправны, поэтому их потенциалы равны, и по каждому из рёбер от \(A\) идёт ток \(I/3\). Такие же рассуждения для \(B\). Каждая вершина, ближняя к \(A\), соединена с двумя вершинами, ближними к \(B\), поэтому её ток \(I/3\) делится поровну: по \(I/6\) на каждое из шести «средних» рёбер. Сопротивление куба складывается из трёх участков, соединённых последовательно: три параллельных ребра (\(r/3\)), шесть параллельных (\(r/6\)), три параллельных (\(r/3\)): \[R_0=\frac r3+\frac r6+\frac r3=\frac56\,r .\]

2. Какой вид ребра выбрать. По рёбрам, идущим к \(A\) и \(B\), течёт ток \(I/3\), по «средним» — вдвое меньший, \(I/6\). Чем больший ток обрывают, тем сильнее меняется сопротивление, значит, надо удалять ребро с током \(I/3\), то есть ребро у \(A\) или у \(B\). Проверим это расчётом для обоих видов.

3. Удалено ребро у вершины \(A\) (пусть оно идёт от \(A\) к вершине \(S\)). Остаётся симметрия относительно перестановки двух других соседей \(A\) — вершин \(P\) и \(Q\): их потенциалы равны \(p\). Равны и потенциалы \(t\) двух вершин \(T_1\), \(T_2\) (общие соседи \(S\) и \(B\) с \(P\) или \(Q\)); потенциал \(S\) обозначим \(s\), а вершины \(W\) (соседа \(P\), \(Q\) и \(B\)) — \(w\). Запишем закон сохранения тока в узлах (сумма токов \((\varphi_{\text{узла}}-\varphi_{\text{соседа}})/r\) равна нулю; \(\varphi_B=0\)): \[\begin{aligned} S&:\ 2(s-t)=0 \Rightarrow s=t,\\ T_1&:\ (t-s)+(t-p)+t=0 \Rightarrow t=\tfrac p2,\\ W&:\ 2(w-p)+w=0 \Rightarrow w=\tfrac{2p}{3},\\ P&:\ (p-U)+(p-t)+(p-w)=0 \Rightarrow \tfrac{11}{6}\,p=U . \end{aligned}\] Отсюда \(p=\dfrac{6U}{11}\), а ток из \(A\) равен \(I=2\,\dfrac{U-p}{r}=\dfrac{10U}{11r}\). Сопротивление \(R_A=\dfrac UI=\dfrac{11}{10}\,r\). Потенциалы вершин (в долях \(U\)) показаны на рисунке.

4. Удалено «среднее» ребро. Тот же метод (узлы с равными потенциалами объединяются, закон сохранения тока для остальных) даёт \(R_{\text{ср}}=\dfrac9{10}\,r\).

Обратите внимание: «среднее» ребро несёт вдвое меньший ток, чем ребро у \(A\) или \(B\), поэтому его удаление меняет сопротивление гораздо слабее — с \(5r/6\) лишь до \(9r/10\). Ответ «любое ребро» неверен: рёбра двух видов неравноправны.

Ответ. Нужно удалить любое из шести рёбер, подходящих к \(A\) или к \(B\): сопротивление между \(A\) и \(B\) изменится с \(\dfrac56\,r\) до \(\dfrac{11}{10}\,r\), то есть примерно на \(32\,\%\). Удаление «среднего» ребра даёт \(\dfrac9{10}\,r\), то есть лишь \(+8\,\%\).

Проверка. Второй способ — матричный расчёт всех двенадцати вариантов на компьютере (проводимости рёбер, псевдообратная матрица Кирхгофа): шесть случаев дают \(1{,}10\,r\), шесть — \(0{,}90\,r\), куб — \(0{,}833\,r\). Проверка потенциалов: токи в узлах \(S\), \(T\), \(W\), \(P\) сходятся (закон Кирхгофа выполнен, суммы нулевые).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.