Тело в двух слоях жидкости

В начале и в конце движения кинетическая энергия тела равна нулю. Чему тогда равна суммарная работа сил тяжести и Архимеда? Сопротивление вязкости у маленького обтекаемого тела не учитываем.

\(\rho=\dfrac{\rho_1d_1+\rho_2d_2}{d_1+d_2}\).

Что происходит. Тело отпускают у поверхности: в верхнем слое оно тяжелее жидкости и разгоняется, в нижнем — легче жидкости и тормозится, чтобы остановиться на дне. Тело маленькое и обтекаемое, поэтому сопротивлением движению пренебрегаем: кроме силы тяжести на тело действует только сила Архимеда. Ключевой закон — теорема об изменении кинетической энергии: в начале и в конце скорость равна нулю, значит, суммарная работа всех сил равна нулю.

Обозначения. \(V\) — объём тела, \(\rho\) — его плотность, масса \(m=\rho V\); ось \(z\) направлена вниз от поверхности.

1. Работа силы тяжести на всём пути \(d_1+d_2\) вниз: \(A_g=\rho Vg\,(d_1+d_2)\).

2. Работа силы Архимеда. Тело мало, поэтому в каждый момент оно целиком в одной жидкости, и сила Архимеда в слое постоянна: \(F_{A1}=\rho_1Vg\) в верхнем слое, \(F_{A2}=\rho_2Vg\) в нижнем. Она направлена вверх, перемещение вниз, поэтому работа отрицательна: \[A_{A}=-\rho_1Vg\,d_1-\rho_2Vg\,d_2 .\]

3. Теорема об изменении кинетической энергии для тела от старта у поверхности до остановки на дне: \(0-0=A_g+A_A\), \[\rho Vg\,(d_1+d_2)=\rho_1Vg\,d_1+\rho_2Vg\,d_2 .\] Сократим \(Vg\) и выразим плотность тела: \[\rho=\frac{\rho_1d_1+\rho_2d_2}{d_1+d_2}.\]

Обратите внимание: слова «маленькое» и «обтекаемое» в условии не просто так. Первое позволяет считать силу Архимеда постоянной в слое и не замечать пересечения границы, второе — не учитывать сопротивление среды. Если бы сопротивление было, часть энергии ушла бы в тепло, и ответ был бы другим.

Ответ. \(\rho=\dfrac{\rho_1d_1+\rho_2d_2}{d_1+d_2}\) — плотность тела равна средней плотности жидкостей, взятой с весом толщин слоёв.

Проверка. При \(\rho_1=\rho_2\) получаем \(\rho=\rho_1\): тело нейтрально, ему нечем разгоняться, и оно покоится — согласуется. Найденная плотность лежит между \(\rho_1\) и \(\rho_2\) (у устойчиво расслоенных жидкостей \(\rho_1<\rho_2\)): \(\rho>\rho_1\) — тело тонет в верхнем слое, \(\rho<\rho_2\) — тормозится в нижнем. Числа: \(\rho_1=0{,}8\), \(\rho_2=1{,}3\text{ г/см}^3\), \(d_1=2\), \(d_2=3\) (любые одинаковые единицы длины): \(\rho=1{,}1\text{ г/см}^3\); кинетическая энергия растёт на участке \(d_1\) на \((\rho-\rho_1)Vgd_1=0{,}6\,Vg\) и убывает на участке \(d_2\) на \((\rho_2-\rho)Vgd_2=0{,}6\,Vg\) (график) — в ноль на дне.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.