Свеча, зеркало и стекло

Пластинка стоит на пути лучей дважды: к зеркалу и обратно. Как смещает кажущееся положение источника один проход через пластинку?

Изображение приблизится к зеркалу на \(2h\left(1-\dfrac1n\right)\), где \(h\) — толщина пластинки, \(n\) — показатель преломления её материала (пластинка параллельна зеркалу, лучи близки к нормали).

Что происходит. Луч, проходя пластинку под небольшим углом, внутри идёт круче к нормали, чем в воздухе (угол \(\alpha/n\) вместо \(\alpha\)): он поднимается внутри на меньшую высоту. Для глаза источник за пластинкой кажется ближе. Здесь свет проходит пластинку дважды — по пути к зеркалу и обратно, — и кажущийся источник сдвигается два раза. Идея — заменить один проход эквивалентным сдвигом источника и сложить два сдвига.

Обозначения. Пластинка толщиной \(h\) с показателем преломления \(n>1\) параллельна зеркалу; расстояние от свечи до зеркала \(D\); лучи составляют с нормалью к зеркалу малый угол \(\alpha\) (тогда \(\sin\alpha\approx\tan\alpha\approx\alpha\)).

1. Один проход. Пусть луч от источника \(S\) идёт под углом \(\alpha\) к нормали. Без пластинки его высота над осью растёт как \(y=\alpha\,(x-x_S)\). Внутри пластинки угол преломления по закону Снеллиуса \(\beta\approx\alpha/n\), так что на толщине \(h\) луч поднимается на \(h\alpha/n\) вместо \(h\alpha\), то есть отстаёт на \(h\alpha(1-1/n)\). После пластинки луч идёт параллельно прежнему, но ниже, и его уравнение \(y=\alpha\,(x-x_S-\delta)\), где \[\delta=h\left(1-\frac1n\right).\] Значит, после пластинки лучи расходятся так, как будто источник сдвинут к пластинке и к зеркалу на \(\delta\).

2. Отражение. Плоское зеркало даёт изображение, симметричное кажущемуся источнику: оно лежит за зеркалом на расстоянии \(D-\delta\).

3. Обратный проход. Лучи, идущие от зеркала, расходятся из точки, лежащей за зеркалом на расстоянии \(D-\delta\). Проходя через пластинку влево, каждый луч снова отстаёт на \(h\alpha(1-1/n)\) и после неё идёт по линии, продолжение которой пересекает ось ближе к зеркалу ещё на \(\delta\). Итоговое расстояние от изображения до зеркала: \[D'=D-2\delta=D-2h\left(1-\frac1n\right).\]

Обратите внимание: положение пластинки между свечой и зеркалом (ближе к свече или к зеркалу) не влияет на ответ: сдвиг даёт только толщина \(h\) и показатель \(n\). Если глаз смотрит не вдоль нормали, формула верна лишь для лучей, близких к нормали, иначе изображение размывается.

Ответ. Изображение остаётся на прежнем перпендикуляре к зеркалу, но приближается к зеркалу на \(2h\left(1-\dfrac1n\right)\); для стекла \(n\approx1{,}5\) сдвиг равен \(\dfrac23\,h\).

Проверка. При \(n\to1\) (воздух) сдвиг \(\to0\) — изображение не меняется; при \(n\to\infty\) сдвиг \(\to2h\): слой толщиной \(h\) как бы «вычеркнут» из пути света на каждом из двух проходов. Численная проверка трассировкой лучей по закону Снеллиуса (рисунок): \(D=8\), \(h=1{,}2\), \(n=1{,}5\) дают изображение на расстоянии \(7{,}15\) вместо \(8\) (формула даёт \(7{,}2\); расхождение — от конечности углов).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.