Подъём и падение мяча

Путь вверх и путь вниз одинаковы. Сравните скорости мяча на одной и той же высоте при подъёме и при падении: куда делась часть энергии?

Время падения больше времени подъёма (если учитывать сопротивление воздуха; без него времена равны).

Что происходит. Без воздуха мяч поднимается и падает за равные времена: на каждой высоте скорость по модулю одна и та же. С воздухом сила сопротивления всё время направлена против скорости и отнимает у мяча механическую энергию. Путь вверх и путь вниз одинаковы (высота \(h\)), поэтому дольше проходится тот участок, на котором скорость меньше.

Обозначения. \(y\) — высота над точкой броска, \(h\) — высота подъёма, \(v_\uparrow(y)\) и \(v_\downarrow(y)\) — модули скорости на высоте \(y\) при подъёме и при падении, \(t_\uparrow\), \(t_\downarrow\) — времена подъёма и падения, \(F_{\text{с}}\) — сила сопротивления воздуха.

1. Скорости на одной высоте. Рассмотрим две встречи мяча с высотой \(y\): на подъёме и на падении. Между ними мяч дошёл до верхней точки и вернулся. Запишем теорему об изменении кинетической энергии мяча за это время: сила тяжести на замкнутом по высоте пути работы не совершает, остаётся работа силы сопротивления \(A_{\text{с}}\): \[\frac{mv_\downarrow^2(y)}{2}-\frac{mv_\uparrow^2(y)}{2}=A_{\text{с}}<0 .\] Работа отрицательна, потому что сила сопротивления направлена против перемещения на каждом участке. Значит, \(v_\downarrow(y)<v_\uparrow(y)\) на любой высоте \(0<y<h\).

2. Времена. За малое время \(dt\) мяч проходит по высоте малый отрезок \(dy=v\,dt\), то есть \(dt=dy/v\). Сложим такие промежутки по всем отрезкам от точки броска (\(y=0\)) до верхней точки (\(y=h\)): \[t_\uparrow=\sum\frac{dy}{v_\uparrow(y)},\qquad t_\downarrow=\sum\frac{dy}{v_\downarrow(y)} .\] Отрезки \(dy\) одни и те же, а скорость при падении на каждом из них меньше, чем при подъёме, поэтому каждое слагаемое во второй сумме больше. Отсюда \(t_\downarrow>t_\uparrow\).

Обратите внимание: сила сопротивления не имеет «своего» направления — она меняет знак вместе со скоростью. На подъёме она направлена вниз и складывается с силой тяжести (\(a_\uparrow=g+F_{\text{с}}/m>g\)), на падении — вверх и вычитается (\(a_\downarrow=g-F_{\text{с}}/m<g\)). Мяч быстрее тормозит вверх, чем разгоняется вниз.

Ответ. \(t_\downarrow>t_\uparrow\): падение длится дольше подъёма.

Проверка. При \(F_{\text{с}}\to0\) ускорения равны \(g\) и \(t_\uparrow=t_\downarrow=v_0/g\). Численный пример с силой сопротивления \(F_{\text{с}}=\kappa m v^2\), \(\kappa=0{,}05\text{ м}^{-1}\), \(v_0=20\text{ м/с}\), \(g=9{,}8\text{ м/с}^2\) (расчёт на компьютере): \(h\approx11{,}1\text{ м}\), \(t_\uparrow\approx1{,}37\text{ с}\), \(t_\downarrow\approx1{,}65\text{ с}\), скорость возвращения \(\approx11{,}5\text{ м/с}\); без воздуха было бы \(h=20{,}4\text{ м}\) и по \(2{,}04\text{ с}\). На графике площади под осью времени и над ней равны \(h\), но полоса под осью длиннее и ниже. Вывод не зависит от закона сопротивления: нужна лишь отрицательность его работы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.