Солнечная батарея и вольтметр

Вольтметр — резистор, сопротивление которого пропорционально пределу: при полном отклонении через микроамперметр всегда идёт один и тот же ток. Батарея — источник с ЭДС и внутренним сопротивлением. Двух показаний хватает на обе неизвестные величины.

\(U_3=\dfrac{U_1(1+\rho)}{1+\rho/100}\approx3{,}6\text{ В}\), где \(\rho=\dfrac{U_2-U_1}{U_1-U_2/10}\approx4{,}3\) (ЭДС батареи \(\mathcal E\approx3{,}7\) В).

Что происходит. Вольтметр на любом пределе — резистор, подключённый к источнику. Показание равно напряжению на этом резисторе, а оно меньше ЭДС: часть напряжения падает на внутреннем сопротивлении батареи. Чем выше предел, тем больше сопротивление вольтметра и тем ближе его показание к ЭДС. Главная идея: сопротивления на пределах относятся как сами пределы, поэтому двух показаний хватает, чтобы найти ЭДС и внутреннее сопротивление, а затем рассчитать показание на третьем пределе.

Обозначения. \(\mathcal E\) — ЭДС батареи, \(r\) — её внутреннее сопротивление (то самое «резистор большого сопротивления», включённый последовательно), \(R_N\) — сопротивление вольтметра на пределе \(N\) вольт, \(I_m\) — ток полного отклонения микроамперметра.

1. Сопротивление вольтметра на пределе. На пределе \(N\) вольт стрелка отклоняется до конца шкалы, когда напряжение на приборе равно \(N\), и в этот момент через микроамперметр идёт ток \(I_m\). По закону Ома для участка цепи \[R_N=\frac{N}{I_m}.\] Ток полного отклонения у микроамперметра один и тот же, поэтому \(R_{10}=10\,R_1\) и \(R_{100}=100\,R_1\). Обозначим \(R=R_1\) и безразмерное отношение \(\rho=r/R\).

2. Показание на пределе \(N\). Закон Ома для полной цепи: ток \(I=\dfrac{\mathcal E}{R_N+r}\); вольтметр показывает напряжение на себе, \(U=IR_N\): \[U=\frac{\mathcal E R_N}{R_N+r}=\frac{\mathcal E}{1+r/R_N}.\] На трёх пределах \(r/R_N=\rho\), \(\rho/10\), \(\rho/100\): \[U_1=\frac{\mathcal E}{1+\rho},\qquad U_2=\frac{\mathcal E}{1+\rho/10},\qquad U_3=\frac{\mathcal E}{1+\rho/100}.\] Неизвестных две, \(\mathcal E\) и \(\rho\); первые два уравнения их определяют, третье даёт ответ.

3. Находим \(\rho\) и \(\mathcal E\). Выразим \(\mathcal E\) из первых двух уравнений и приравняем: \(U_1(1+\rho)=U_2(1+\rho/10)\). Отсюда \[\rho=\frac{U_2-U_1}{U_1-U_2/10}=\frac{2{,}6-0{,}7}{0{,}7-0{,}26}\approx4{,}3,\qquad \mathcal E=U_1(1+\rho)\approx0{,}7\text{ В}\cdot5{,}3\approx3{,}7\text{ В}.\] Внутреннее сопротивление батареи в \(4{,}3\) раза больше сопротивления вольтметра на пределе 1 В.

4. Показание на пределе 100 В. \[U_3=\frac{\mathcal E}{1+\rho/100}=\frac{U_1(1+\rho)}{1+\rho/100}\approx\frac{3{,}72\text{ В}}{1{,}043}\approx3{,}6\text{ В}.\] Обратите внимание: даже на пределе 100 В прибор показывает не ЭДС, а чуть меньше: \(3{,}6\) В против \(\mathcal E\approx3{,}7\) В. Падение напряжения на внутреннем сопротивлении батареи не исчезает совсем, оно лишь уменьшается с ростом предела.

Проверка. Размерность: \(\rho\) — безразмерная, остальное — вольты. Второй способ — график. Из формулы \(1/U=\dfrac1{\mathcal E}+\dfrac{r}{\mathcal E R_1}\cdot\dfrac1N\): в координатах \(1/N\), \(1/U\) показания лежат на прямой. Через две точки, \((1;\,1/0{,}7)\) и \((0{,}1;\,1/2{,}6)\), проведём прямую (рис.); она отсекает на оси \(1/U\) величину \(1/\mathcal E\approx0{,}27\text{ В}^{-1}\) и при \(1/N=0{,}01\) даёт \(1/U_3\approx0{,}28\text{ В}^{-1}\), то есть \(U_3\approx3{,}6\) В. Предел \(N\to\infty\) даёт \(U\to\mathcal E\); показания растут с пределом: \(0{,}7<2{,}6<3{,}6<3{,}7\) — физически верно.

Ответ: \(U_3=\dfrac{U_1(1+\rho)}{1+\rho/100}\approx3{,}6\text{ В}\), \(\rho=\dfrac{U_2-U_1}{U_1-U_2/10}\approx4{,}3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.