Шар для боулинга и мяч для гольфа

Перейдите в систему отсчёта, повёрнутую на угол \(\alpha\): там второе столкновение похоже на упругий удар о неподвижную стенку. Дальность полёта выразите через \(\alpha\) и затем найдите максимум.

Из закона сохранения энергии найдём скорость, с которой оба шара достигают поверхности: \[\dfrac{m v_0^2}{2} = m g h \quad \Rightarrow \quad v_0 = \sqrt{2 g h}.\] После того, как шар для боулинга сталкивается с поверхностью, он отскакивает вверх со скоростью \(v_0\), а мяч для гольфа движется вниз со скоростью \(v_0\). Последующее столкновение легче всего понять в системе отсчёта, движущейся со скоростью \(v_0 \cos\alpha\) вдоль оси, получаемой поворотом оси \(Oy\) на угол \(\alpha\) по часовой стрелке. В этой системе координат \(Ox'y'\) мяч для гольфа до соударения с мячом для боулинга имеет компоненты скорости: \[v_{0x'} = v_0 \sin\alpha, \qquad v_{0y'} = -2 v_0 \cos\alpha.\] Мяч для боулинга имеет нулевую компоненту скорости вдоль оси \(Oy'\). Так как трения между мячами нет, компоненты импульса по оси \(Ox'\) не меняются при соударении. Мяч для гольфа испытывает абсолютно упругое соударение с неподвижным массивным объектом вдоль оси \(Oy'\). Следовательно, после соударения его компоненты скорости в системе \(Ox'y'\): \[v_{x'} = v_0 \sin\alpha, \qquad v_{y'} = 2 v_0 \cos\alpha.\] Переходя в исходную систему отсчёта, получаем: \[v_x = v_{x'}\cos\alpha + (v_{y'} + v_0 \cos\alpha)\sin\alpha = 2 v_0 \sin 2\alpha,\] \[v_y = v_{x'}\sin\alpha + (v_{y'} + v_0 \cos\alpha)\cos\alpha = 2 v_0 \cos 2\alpha + v_0.\] Время полёта \(t\) мяча для гольфа находится из \(v_y t - \dfrac{g t^2}{2} = 0\), то есть \(t = \dfrac{2 v_y}{g}\). Длина полёта равна: \[l = v_x t = \dfrac{2 v_x v_y}{g} = \dfrac{8 v_0^2}{g} \sin 2\alpha \left(\cos 2\alpha + \dfrac{1}{2}\right) = 16 h \sin 2\alpha \left(\cos 2\alpha + \dfrac{1}{2}\right).\] Пусть \(\beta = 2\alpha\). Для нахождения максимального расстояния приравняем к нулю производную: \[\dfrac{dl}{d\beta} = 16 h \left[\cos\beta\left(\cos\beta + \dfrac{1}{2}\right) - \sin^2\beta\right] = 0 \quad \Rightarrow \quad 2\cos^2\beta + \dfrac{1}{2}\cos\beta - 1 = 0.\] Выбирая положительный корень, получим \(\cos\beta = \dfrac{\sqrt{33} - 1}{8} \approx 0{,}593\). Тогда \(\sin\beta \approx 0{,}805\), откуда \(\beta \approx 54^\circ\), \(\alpha \approx 27^\circ\). Максимальное расстояние: \[l = 16 h \cdot 0{,}805 \cdot (0{,}593 + 0{,}5) \approx 14{,}1\,h \approx 14{,}1~\text{м}.\]