Поршни и нагрев жидкости

Вся работа внешней силы в итоге выделяется как теплота: найдите изменение потенциальной энергии системы; при этом жидкость, перетекающая между сосудами, поднимается, а её центр масс меняется.

Пусть \(m_1\) и \(m_2\) — массы поршней в узком и широком сосудах, \(S_1 = S\), \(S_2 = 3S\). В равновесии \[H = \frac{1}{\rho}\left(\frac{m_1}{S_1} - \frac{m_2}{S_2}\right).\] После отпускания колебания затухают из-за вязкости, и вся работа при сдавливании переходит в тепло: \(\Delta U = C\,\Delta T\). Объём жидкости сохраняется: \(S_1 x = S_2 y\), где \(y\) — смещение большого поршня. Изменение потенциальной энергии складывается из работы против сил тяжести поршней и перемещения массы жидкости \(\rho x S_1\) из одного сосуда в другой: \[\Delta U = -m_1 g x + m_2 g y + \rho x S_1 g\left[H + \frac{y}{2} - \left(-\frac{x}{2}\right)\right].\] С учётом равновесия получаем \[\Delta T = \frac{\rho g x^2 S_1}{2C}\left(1 + \frac{S_1}{S_2}\right) = \frac{2\rho g x^2 S}{3C}.\] Тот же ход рассуждений при \(S_1 = 4S\), \(S_2 = S\) даёт \(10\rho g x^2 S/C\).