Ледяной полушар на столе

Скорость уменьшения высоты льда постоянна, так как \(\Delta h/\Delta t = \alpha/(\lambda\rho)\). Луч преломляется на сферической поверхности льда; найдите точку на столе для начального момента, а затем учтите, что стол поднимается равномерно.

Тепловой баланс за малое время: \(\alpha S\,\Delta t = \lambda\rho S\,\Delta h\), поэтому \(\Delta h/\Delta t = \alpha/(\lambda\rho)\) постоянна: высота льда убывает равномерно. Для \(\sin\alpha = 1/2\) (угол падения \(30^\circ\)) по закону Снеллиуса \(\sin\beta = \dfrac{1}{2n}\), \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\). Из геометрии точка падения на столе находится на расстоянии \[x_0 = \frac{2R}{\sqrt{12n^2-3}+1}\] от центра \(O\) (в ходе вычисления \(\gamma = \alpha - \beta\) и \(\operatorname{tg}\gamma\)). Представим, что не лёд опускается, а стол равномерно поднимается, «съедая» лёд слой за слоем: точка пересечения луча со столом поднимается равномерно, поэтому \(x(t)\) линейна, пока лёд растаивает. Точка достигает \(R/2\), когда растаял нижний слой толщиной \(R\sqrt3/2\), то есть при \(t = \sqrt3\,T_0/2\); дальше \(x = R/2\).