Два кубика из разных металлов

Сопротивление бруска \(R = \rho l/S\). При сохранении объёма растяжение в \(\lambda\) раз уменьшает площадь сечения в \(\lambda\) раз. Сравните полные сопротивления двух схем.

Сопротивления исходных кубиков \(R_1 = \rho_1/a\), \(R_2 = \rho_2/a\). В левой схеме кубики соединены последовательно: \(R_I = (\rho_1 + \rho_2)/a\). При сохранении объёма растяжение в \(\lambda\) раз уменьшает сечение в \(\lambda\) раз, поэтому \(R_1' = \lambda^2\rho_1/a\), \(R_2' = \lambda^2\rho_2/a\). В правой схеме они соединены параллельно: \(R_{II} = \dfrac{\lambda^2\rho_1\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)a}\). Приравнивая, получаем \(x = \rho_1/\rho_2\) и квадратное уравнение \[x^2 + (2 - \lambda^2)x + 1 = 0,\] корни \(x_\pm = \dfrac{(\lambda^2-2) \pm\sqrt{(\lambda^2-2)^2-4}}{2}\) с \(x_+x_- = 1\). Оба корня описывают одну ситуацию (большее и меньшее сопротивление). Решение существует при \(\lambda \ge 2\); при \(\lambda = 2\) \(\rho_1 = \rho_2\).