Тело падает на нить с грузами

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. При падении тела \(m\) в поле силы тяжести его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая — увеличивается, пока тело не зацепится за нить. Далее одновременно с его опусканием происходит подъём и ускорение двух грузов массой \(M\). Скорости тела и грузов связаны между собой, поскольку нить по условию задачи нерастяжима. Если тело \(m\) сместилось вместе с нитью вниз на расстояние \(x\) от положения, когда нить горизонтальна, то скорость грузов \(v\) и скорость тела \(u\) связаны соотношением: \(u = \dfrac{v}{x/\sqrt{l^2 + x^2}} \approx \dfrac{vl}{x}\). Здесь использовано то обстоятельство, что, поскольку масса тела мала по сравнению с массами грузов, и оно падает на нить с небольшой высоты \(h\), то смещение тела \(x\) будет также невелико по сравнению с \(h\) и, тем более, с \(l\), то есть \(x \ll h \ll l\). При этом из закона сохранения энергии следует, что \[mg(h + x) = 2Mg\left(\sqrt{x^2 + l^2} - l\right) + \dfrac{mu^2}{2} + 2\cdot\dfrac{Mv^2}{2},\] откуда \[mg(h + x) - Mg\cdot\dfrac{x^2}{l} \approx \dfrac{m(vl/x)^2}{2} + 2\cdot\dfrac{Mv^2}{2} = v^2\left(M + \dfrac{m(l/x)^2}{2}\right),\] \[v^2 \approx \dfrac{mg(h + x) - (Mgx^2/l)}{M + \dfrac{m(l/x)^2}{2}} \approx \dfrac{mgh - (Mgl\cdot x^2/l^2)}{M + \dfrac{m(l/x)^2}{2}}.\] Обозначим малый параметр \(z = x^2/l^2\). Теперь задача свелась к отысканию максимума выражения: \[v^2 = \dfrac{mgh - Mglz}{M + (m/(2z))},\] для чего нужно приравнять нулю его производную по \(z\). Это даёт уравнение: \(2M^2l\cdot z^2 + 2mMl\cdot z - m^2h = 0\). Решая его, получим, что \(z \approx mh/(2Ml)\). Следовательно, искомая максимальная скорость движения грузов будет равна: \(v \approx h\sqrt{\dfrac{mg}{2Ml}}\).