Сферический конденсатор

Заземлённый шар приобретает такой заряд \(q\), чтобы его потенциал стал равен нулю. Потенциал шара складывается из потенциала, создаваемого его собственным зарядом, и потенциала заряженной сферы.

Если на шаре нет заряда, сфера имеет потенциал \[\varphi_{0s} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R} = 450\text{ В}.\] При соединении с Землёй шар внутри сферы имеет потенциал, равный нулю, поэтому между шаром и сферой существует электрическое поле. Это поле переносит некоторый заряд \(q\) с Земли на шар. Заряд \(Q\), равномерно распределённый по сфере, не создаёт внутри неё никакого поля, поэтому электрическое поле внутри сферы определяется зарядом шара \(q\). Разность потенциалов между шаром и сферой равна

\[\Delta\varphi = \varphi_b - \varphi_s = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac qr - \frac qR\right). \qquad (1)\] Вне сферы поле такое же, как если бы все заряды находились в её центре. Когда шар соединён с Землёй, потенциал сферы \(\varphi_s\) равен \[\varphi_s = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q + Q}{R}. \qquad (2)\] Тогда потенциал шара \[\varphi_b = \varphi_s + \Delta\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q + Q}{R} + \frac qr - \frac qR\right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac QR + \frac qr\right) = 0, \qquad (3)\] откуда \[q = -Q\frac rR. \qquad (4)\] Подставляя (4) в (2), получаем искомый потенциал сферы: \[\varphi_s = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q - Q\dfrac rR}{R} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q(R - r)}{R^2} = 225\text{ В}.\] Электрическая ёмкость всей системы проводников равна \[C = \frac{Q}{\varphi_s} = \frac{4\pi\varepsilon_0R^2}{R - r} = 4{,}4\cdot10^{-11}\text{ Ф} = 44\text{ пФ}.\] Эквивалентная электрическая схема состоит из двух параллельно соединённых конденсаторов: 1) сферического с зарядами \(+q\) и \(-q\) на обкладках и 2) конденсатора «сфера — Земля» с зарядами \(+(Q - q)\) и \(-(Q - q)\) на обкладках (рис. 5).