Телескоп со сферическим зеркалом

Проследите ход крайнего луча, параллельного оси: из равнобедренного треугольника, образованного радиусом зеркала, отражённым лучом и осью, найдите, где луч пересекает ось и на каком расстоянии от фокуса он пересекает фокальную плоскость.

Как известно, лучи, параллельные главной оптической оси сферического зеркала и проходящие на малых расстояниях от неё, после отражения собираются в главном фокусе зеркала \(F\), находящемся на расстоянии \(R/2\) от центра \(O\) сферической поверхности. Рассмотрим теперь ход луча, отражённого вблизи края сферического зеркала большого диаметра \(D\) (рис. 6). Угол падения \(\alpha\) луча на поверхность равен углу отражения. Поэтому угол \(OAB\) в треугольнике, образованном радиусом сферы \(OA\), проведённым в точку падения луча, отражённым лучом \(AB\) и отрезком \(BO\) главной оптической оси, равен \(\alpha\). Углы \(BOA\) и \(MAO\) равны, т. е. угол \(BOA\) равен \(\alpha\).

Таким образом, треугольник \(AOB\) равнобедренный, его сторона \(AB\) равна стороне \(BO\). Поскольку сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, \(AB + BO > OA = R\), следовательно, \(BO > R/2\). Это значит, что луч, параллельный главной оптической оси сферического зеркала и проходящий не слишком близко к ней, после отражения пересекает главную оптическую ось в точке \(B\), лежащей между фокусом \(F\) и зеркалом. Фокальную плоскость этот луч пересекает в точке \(C\), находящейся на некотором расстоянии \(CF = r\) от главного фокуса.

Таким образом, при отражении параллельного пучка лучей сферическим зеркалом конечных размеров лучи не собираются в фокусе зеркала, а образуют на фокальной плоскости пятно радиусом \(r\).

Из \(\triangle BFC\) можно записать: \[r = BF\operatorname{tg}\beta = BF\operatorname{tg}2\alpha,\] где \(\alpha\) — максимальный угол падения крайнего луча на зеркало, причём \(\sin\alpha = D/2R\): \[BF = BO - OF = \frac{R}{2\cos\alpha} - \frac R2 = \frac R2\,\frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha}.\] Таким образом, \(r = \dfrac R2\,\dfrac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha}\,\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}\). Выразим \(\cos\alpha\), \(\sin2\alpha\), \(\cos2\alpha\) через \(\sin\alpha\), учитывая малость угла \(\alpha\): \[\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} \approx 1 - \frac{\sin^2\alpha}{2},\] \[\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha,\] \[\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha.\] Тогда \[r = \frac R2\,\frac{\sin^3\alpha}{1 - 2\sin^2\alpha} \approx \frac R2\sin^3\alpha \approx \frac{D^3}{16R^2}.\] Подставляя численные данные, получаем: \(r \approx 1{,}95\cdot10^{-3}\text{ м} \approx 2\) мм.

Из выражения \(D = \sqrt[3]{16R^2r}\) видно, что если радиус приёмника уменьшить в 8 раз, то поперечный диаметр \(D'\) части зеркала, от которой свет попадает на приёмник, уменьшится в 2 раза, и, следовательно, «эффективная» площадь зеркала уменьшится в 4 раза.

Поток излучения \(\Phi\), отражённый зеркалом и принятый приёмником, также уменьшится вдвое, поскольку \(\Phi \sim S\).