Перенос бруска

В случае a тележка движется относительно стола с постоянной скоростью, а брусок разгоняется силой трения, пока не сравняется с ней по скорости. В случае b система «брусок — тележка» замкнута: воспользуйтесь сохранением импульса и тем, что относительная скорость задана мотором.

a) К моменту, когда брусок отпускают, тележка имеет скорость \(v_0\) относительно стола и продолжает двигаться с той же скоростью.

Брусок под действием силы трения \(F_{fr} = \mu mg\) со стороны тележки получает ускорение \(a = F_{fr}/M = \mu mg/M\); \(a = 0{,}02\text{ м/с}^2\), при этом скорость бруска меняется со временем по закону \(v_b = at\).

Поскольку брусок не может двигаться быстрее тележки, в момент времени \(t = t_0\) его проскальзывание прекратится, т. е. \(v_b = v_0\). Определим этот момент времени: \[t_0 = \frac{v_0}{a} = \frac{v_0M}{\mu mg} = 5\text{ с}.\] К этому моменту перемещения бруска \(S_b\) и тележки \(S_c\) относительно стола будут равны \[S_c = v_0t_0 = \frac{v_0^2M}{\mu mg}, \qquad S_b = \frac{at_0^2}{2} = \frac{v_0^2M}{2\mu mg}.\] Перемещение тележки относительно бруска равно \[S = S_c - S_b = \frac{v_0^2M}{2\mu mg} = 0{,}25\text{ м}.\] Поскольку \(S < l\), тележка не достигнет края бруска, пока брусок не остановит неподвижная опора. Расстояние до опоры в условии задачи не указано, поэтому это время вычислить нельзя. Итак, тележка движется равномерно со скоростью \(v_0 = 0{,}1\) м/с, а брусок первые 5 с движется равноускоренно с ускорением \(a = 0{,}02\text{ м/с}^2\), а затем движется с постоянной скоростью вместе с тележкой.

b) Поскольку трения между бруском и поверхностью стола нет, система тел «брусок — тележка» замкнута. Для этой системы можно применить закон сохранения импульса: \[mv + Mu = mv_0, \qquad (1)\] где \(v\) и \(u\) — проекции скоростей тележки и бруска относительно стола на горизонтальную ось, направленную вдоль вектора скорости \(v_0\). Скорость наматывания нити \(v_0\) равна скорости тележки относительно бруска \((v - u)\), т. е. \[v_0 = v - u. \qquad (2)\] Решая систему уравнений (1) и (2), получаем: \[u = 0, \qquad v = v_0.\] Таким образом, будучи отпущенным, брусок остаётся неподвижным относительно стола, а тележка движется с той же скоростью \(v_0\) и достигнет края бруска за время \(t\), равное \[t = l/v_0 = 5\text{ с}.\]