Переправа через реку

1. \(v_0 = H/t_0\).

2. Скорость течения реки \(u = \beta v_0\); за время переправы лодку снесёт на расстояние \(L = ut_0 = \beta v_0t_0\).

3. Скорость лодки относительно системы координат, связанной с берегом, равна \(\vec v = \vec u + \vec v_0\) (см. рис. 26). Из рисунка видно, что минимальное расстояние \(L_{\text{мин}}\) сноса лодки соответствует случаю, когда скорость лодки \(\vec v\) направлена по касательной к окружности радиуса \(v_0\). Из подобия треугольников скоростей и расстояний, имеющих общий угол \(\alpha\), получим

\[\dfrac{L_{\text{мин}}}{H} = \dfrac{v}{v_0},\] и так как \(\vec v \perp \vec v_0\), находим \[L_{\text{мин}} = H\dfrac{v}{v_0} = H\dfrac{\sqrt{u^2 - v_0^2}}{v_0} = H\sqrt{\beta^2 - 1}.\] 4. Время переправы лодки, когда её сносит на минимальное расстояние, равно \[t = \dfrac{H}{v_0\cos\alpha} = \dfrac{t_0}{\cos\alpha} = t_0\dfrac{\beta}{\sqrt{\beta^2 - 1}}.\]