Весы на тележке

Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть кубик находится на горизонтальной поверхности, движущейся с ускорением \(g/2\) (трение достаточно велико). Определим расстояние от центра массы кубика до линии действия силы реакции опоры (рис. 27).

Ясно, что \(N = mg\), \(F_{\text{тр}} = mg/2\). Из уравнения моментов относительно полюса \(O\) следует: \[Nx = F_{\text{тр}}\dfrac{a}{2},\] отсюда \(x = \dfrac{a}{4}\).

По третьему закону Ньютона вес \(\vec P\) кубика и реакция опоры \(\vec N\) действуют вдоль одной прямой.

Возвращаясь к исходной задаче, можно утверждать, что линии действия веса каждого кубика смещены относительно центра масс кубиков влево на \(x = a/4\).

Напишем условие равенства моментов сил, действующих на весы: \[\rho_1a^3g\left(l - \dfrac{a}{2} - \dfrac{a}{4}\right) = \rho_2a^3g\left(l - \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{4}\right),\] \[\rho_1\left(l - \dfrac{3}{4}a\right) = \rho_2\left(l - \dfrac{a}{4}\right).\] Отношение плотности материалов кубиков 1 и 2 равно \[\dfrac{\rho_1}{\rho_2} = \dfrac{l - \dfrac{a}{4}}{l - \dfrac{3a}{4}}.\]