Ведро на мельнице

Определим положение поверхности воды в ведре в момент, когда лопасть составляет некоторый угол \(\alpha\) с вертикалью (см. рис. 1.89.1). Уравнение движения элемента жидкости, находящегося вблизи её поверхности, имеет вид: \(m\vec a = m\vec g + \vec F_{\text{Арх}}\), где \(\vec F_{\text{Арх}}\) — архимедова сила, действующая на данный элемент, \(\vec a\) — его центростремительное ускорение.

Известно, что в равновесии направление архимедовой силы перпендикулярно к свободной поверхности жидкости; с другой стороны, из-за малости размеров ведра переходные процессы быстротечны, и воду в каждый момент времени можно считать находящейся в равновесии. Поскольку \(\vec F_{\text{Арх}} = m(\vec a - \vec g)\), получаем, что поверхность воды в ведре перпендикулярна вектору \(\vec a + (-\vec g)\).

Так как лопасть очень длинная, то центростремительное ускорение равно \(\vec a = \omega^2L\vec n\), где \(\vec n\) — единичный вектор, направленный к оси вращения. Вектор ускорения \(\vec a\) постоянен по величине и направлен вдоль лопасти мельницы и оси жёстко прикреплённого к ней ведра, а вектор \(-\vec g\) вращается относительно ведра при вращении лопасти. Поэтому векторную сумму \(\vec a + (-\vec g)\) удобно изображать в системе отсчёта, жёстко связанной с ведром (см. рис. 1.89.2). Обозначив угол отклонения вектора \(\vec a + (-\vec g)\) от оси ведра, равный углу наклона поверхности воды ко дну ведра, через \(\beta\), получаем, что максимальное его значение определяется соотношением: \(\sin\beta_{\max} = g/a = g/(\omega^2L)\). Вода не будет выливаться из ведра, заполненного наполовину, если \(\sin\beta_{\max} = \dfrac{g}{\omega^2L} < \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + d^2}}\). Отсюда

\[\omega^2 > \dfrac{g}{L}\sqrt{1 + \dfrac{d^2}{h^2}}.\]