Три тележки

В первом случае все тележки движутся с одним горизонтальным ускорением, а тележка \(A\) не движется по вертикали. Нить и силы между тележками — внутренние для всей системы.

Случай 1. Сила \(\vec F\) настолько велика, что тележки \(A\) и \(B\) остаются в покое относительно тележки \(C\), т. е. они движутся с тем же ускорением, что и тележка \(C\). Пусть \(\vec G_1\), \(\vec T_1\) и \(\vec T_2\) обозначают силы, действующие на отдельные тележки, как показано на рис. 2, и запишем уравнения движения тележек \(A\) и \(B\), а также всей механической системы. Заметим, что некоторые внутренние силы (а именно силы нормальной реакции) не показаны.

Тележка \(B\) движется в системе координат \(Oxy\) с ускорением \(a_x\). Единственная сила, действующая на тележку \(B\), — сила \(\vec T_2\), поэтому \[T_2 = m_2a_x. \qquad (1)\] Поскольку \(\vec T_1\) и \(\vec T_2\) — силы натяжения одной и той же нити, их модули удовлетворяют равенству \[T_1 = T_2.\] На тележку \(A\) в направлении оси \(y\) действуют силы \(\vec T_1\) и \(\vec G_1\). Поскольку по условию 1 тележки \(A\) и \(B\) покоятся относительно тележки \(C\), ускорение в направлении оси \(y\) равно нулю, \(a_y = 0\), откуда \[T_1 - m_1g = 0.\] Следовательно, \[T_2 = m_1g. \qquad (2)\] Таким образом, движение всей механической системы описывается уравнением \[F = (m_1 + m_2 + m_3)\,a_x, \qquad (3)\] поскольку силы между тележками \(A\) и \(C\), а также между тележками \(B\) и \(C\) — внутренние силы по отношению к системе всех трёх тел. Заметим здесь, что и натяжение \(\vec T_2\) — внутренняя сила по отношению к системе всех тел, что легко увидеть из анализа сил, действующих на блок. Из уравнений (1) и (2) получаем \[a_x = \frac{m_1}{m_2}g.\] Подставляя последний результат в (3), приходим к \[F = (m_1 + m_2 + m_3)\,\frac{m_1}{m_2}g.\] Численное решение: \[T_2 = T_1 = 0{,}3\cdot9{,}81\text{ Н} = 2{,}94\text{ Н},\] \[F = 2\cdot\frac32\cdot9{,}81\text{ Н} = 29{,}4\text{ Н}.\]

Случай 2. Если тележка \(C\) неподвижна, то тележка \(A\) движется с ускорением \(a_y\), а тележка \(B\) — с ускорением \(a_x\). Поскольку нить нерастяжима (т. е. не может удлиняться), выполняется равенство \[a_x = -a_y = a.\] Тогда уравнения движения тележек \(A\) и \(B\) соответственно можно записать в виде \[T_1 = G_1 - m_1a, \qquad (4)\] \[T_2 = m_2a. \qquad (5)\] Модули сил натяжения нити снова удовлетворяют равенству \[T_1 = T_2. \qquad (6)\] Из равенств (4), (5) и (6) сразу следует \[(m_1 + m_2)\,a = m_1g.\] С помощью последнего результата можно вычислить \[a = a_x = -a_y = \frac{m_1}{m_1 + m_2}g,\] \[T_2 = T_1 = \frac{m_2m_1}{m_1 + m_2}g.\] Численные результаты: \[a = a_x = \frac35\cdot9{,}81\text{ м}\cdot\text{с}^{-2} = 5{,}89\text{ м}\cdot\text{с}^{-2},\] \[T_1 = T_2 = 1{,}18\text{ Н}.\]