Стеклянная пластинка над стеклянным кубиком

Запишите условие максимума для отражения от тонкого воздушного слоя (с потерей полуволны на одной из поверхностей). То, что в диапазоне ровно два максимума и один из них на 400 нм, позволяет найти порядок максимума, а затем толщину слоя.

Условие максимума усиления можно записать в виде \[2dn - \frac{\lambda_k}{2} = k\lambda_k, \quad\text{где } k = 0, 1, 2, \ldots,\] т. е. \[2dn = (2k + 1)\frac{\lambda_k}{2}, \qquad (13)\] где \(d\) — толщина слоя, \(n\) — показатель преломления, \(k\) — порядок максимума. Обозначим \(\lambda' = 1150\) нм. Поскольку по условию для \(\lambda = 400\) нм условие максимума выполнено, обозначим \(\lambda_p = 400\) нм, где \(p\) — неизвестное целое число, задающее порядок максимума, для которого выполняется \[\lambda_p(2p + 1) = 4dn. \qquad (14)\] Из уравнения (13) следует, что при фиксированном \(d\) длина волны \(\lambda_k\) увеличивается с уменьшением порядка максимума \(k\), и наоборот. Согласно условию, \[\lambda_{p-1} < \lambda' < \lambda_{p-2},\] т. е. \[\frac{4dn}{2(p-1) + 1} < \lambda' < \frac{4dn}{2(p-2) + 1}.\] Подставляя в последние неравенства \(4dn\) из (14), получаем \[\frac{\lambda_p(2p + 1)}{2(p-1) + 1} < \lambda' < \frac{\lambda_p(2p + 1)}{2(p-2) + 1}.\] Исследуем сначала первое неравенство; несложные вычисления последовательно дают \[\lambda_p(2p + 1) < \lambda'(2p - 1), \qquad 2p(\lambda' - \lambda_p) > \lambda' + \lambda_p,\] т. е. \[p > \frac12\,\frac{\lambda' + \lambda_p}{\lambda' - \lambda_p} = \frac12\,\frac{1150 + 400}{1150 - 400} = 1{,}\ldots \qquad (15)\] Аналогично из второго неравенства имеем \[\lambda_p(2p + 1) > \lambda'(2p - 3), \qquad 2p(\lambda' - \lambda_p) < 3\lambda' + \lambda_p,\] т. е. \[p < \frac12\,\frac{3\lambda' + \lambda_p}{\lambda' - \lambda_p} = \frac12\,\frac{3\cdot1150 + 400}{1150 - 400} = 2{,}\ldots \qquad (16)\] Единственное целое \(p\), удовлетворяющее и (15), и (16), — это \(p = 2\).

Найдём теперь толщину \(d\) воздушного слоя: \[d = \frac{\lambda_p}{4}(2p + 1) = \frac{400}{4}(2\cdot2 + 1)\text{ нм} = 500\text{ нм}.\] Подставляя \(d\) в уравнение (13), можно вычислить \(\lambda_{p-1}\), т. е. \(\lambda_1\): \[\lambda_1 = \frac{4dn}{2(p-1) + 1} = \frac{4dn}{2p - 1}.\] Подставляя конкретные значения, получаем \[\lambda_1 = \frac{4\cdot500\cdot1}{2\cdot2 - 1}\text{ нм} = 666{,}7\text{ нм}.\] Наконец, определим повышение температуры \(\Delta t\). В общем случае выполняется \(\Delta l = \alpha l\Delta t\). Обозначив ребро кубика через \(h\), приходим к \(d = \alpha h\Delta t\). Следовательно, \[\Delta t = \frac{d}{\alpha h} = \frac{5\cdot10^{-7}}{8\cdot10^{-6}\cdot2\cdot10^{-2}}\,{}^\circ\text{C} = 3{,}1\,^\circ\text{C}.\]