Стеклянная пластина

В пункте iii) отражённые внутри пластины волны интерферируют: из-за толщины \(a\) путь туда и обратно даёт сдвиг фаз на половину длины волны, поэтому амплитуды прошедших волн образуют геометрический ряд со знакопеременными членами.

i) \(F_a=\dfrac Pc\);  ii) \(F_b=(1+r)\dfrac Pc\);  iii) \(F_c=\dfrac{8Pr}{c(1+r)^2}\).

i) Энергия и импульс фотона связаны соотношением \(E=pc\). Поскольку освещаемая сторона чёрная, она поглощает фотоны и испытывает силу за счёт их импульса: \(F_a=\dfrac{dp}{dt}\), где \(\dfrac{dp}{dt}=\dfrac1c\dfrac{dE}{dt}=\dfrac Pc\) — импульс фотонов, создаваемый за единицу времени. \(F_a=\dfrac Pc\).

ii) Доля \(r\) фотонов отразится, они создадут вдвое большую силу, так как изменение импульса вдвое больше, чем при поглощении. Доля \(1-r\) будет поглощена и даст силу, аналогичную предыдущему выражению. \[F_b=2r\frac Pc+(1-r)\frac Pc=(1+r)\frac Pc .\]

iii) Свет будет многократно отражаться, и придётся учитывать интерференцию. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды электрического поля, то если доля \(r\) фотонов, а значит, и энергии отражается, амплитуда электрического поля отражённой волны составляет \(\sqrt r\) от амплитуды падающей. Вычислим суммарную амплитуду электрического поля волны, которая проходит насквозь. Обозначим через \(E_i\) электрическое поле падающей волны, а через \(E_t\) — поле волны, прошедшей через другую сторону стекла. На стороне падения доля амплитуды электрического поля, которая проходит внутрь, равна \(\sqrt{1-r}\), из которой часть \(\sqrt{1-r}\) пройдёт дальше, а часть \(\sqrt r\) отразится назад. Итак, волна с амплитудой \(E_0=(1-r)E_i\) прошла насквозь, а волна с амплитудой \(\sqrt{(1-r)r}\,E_i\) отражается назад сквозь стекло. Теперь она дойдёт до первой стороны, отразится от неё назад, и из неё доля \(\sqrt{1-r}\) пройдёт и добавится к \(E_t\). Однако эта волна прошла оптический путь \(2nd=200{,}5\lambda\), поэтому она будет в противофазе, и мы получаем \(E_1=-(1-r)rE_i\). Повторяя процедуру, получаем \(E_2=(1-r)r^2E_i\) и так далее, \(E_n=(1-r)(-r)^nE_i\). Суммируя все электрические поля, проходящие через другую сторону стекла, получаем: \[E_t=\sum_{n=0}^{\infty}E_n=(1-r)E_i\sum_{n=0}^{\infty}(-r)^n=\frac{1-r}{1+r}E_i .\] Мощность пропорциональна квадрату электрического поля: \[\frac{P_t}{P}=\left(\frac{E_t}{E_i}\right)^2=\left(\frac{1-r}{1+r}\right)^2 .\] Так как мощность пропорциональна и числу фотонов, эта доля фотонов прошла насквозь и не передала свой импульс стеклу. По закону сохранения энергии остальные отразились обратно к лазеру, и, поскольку их импульс изменил знак: \[F_c=2\left(\frac{P-P_t}{c}\right)=\frac{2P}{c}\left(1-\left(\frac{1-r}{1+r}\right)^2\right)=\frac{8Pr}{c(1+r)^2} .\]

Альтернативное решение. Свет отражается туда и обратно. Внутри стекла есть некоторая сумма волн одной частоты, которую можно представить как одну волну, идущую вперёд, и одну волну, идущую назад. Обозначим через \(E\) амплитуду волны, идущей вперёд, сразу под поверхностью внутри стекла. Амплитуда волны в этой точке постоянна и складывается из прошедшей части падающего света \(\sqrt{1-r}\,E_i\) и из части самой волны \(E\), находящейся в противофазе, поскольку она дважды отражается внутри стекла и возвращается в ту же точку: \(-rE\). Получаем соотношение: \[E=\sqrt{1-r}\,E_i-rE\quad\to\quad E=\frac{\sqrt{1-r}}{1+r}E_i .\] Волна, прошедшая пластину насквозь, равна \[E_t=\sqrt{1-r}\,E=\frac{1-r}{1+r}E_i .\] Дальнейшее — как в предыдущем решении.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.