Разминка

Интерферометр Фабри — Перо: пропускание зависит от набега фазы, а он — от выходной интенсивности, поэтому удобно выразить \(I_{\text{ВХ}}\) через \(I_{\text{ВЫХ}}\) и построить обратную зависимость; часть ветвей неустойчива. Ракета в пыли: импульс сохраняется при слипании.

1.1) график \(I_{\text{ВЫХ}}(I_{\text{ВХ}})\) с гистерезисом: два устойчивых значения на одном интервале входной интенсивности, неустойчивая ветвь реализуется; 1.2) \(\upsilon=\dfrac{m\upsilon_0}{m+\rho SL}\), \(t=\dfrac{L}{\upsilon_0}\left(1+\dfrac{\rho SL}{2m}\right)\).

1.1 «Оптическая бистабильность». Набег фазы при однократном прохождении \(\psi=2\pi nL/\lambda\). Показатель преломления зависит от интенсивности, поэтому \[I_{\text{ВХ}}=I_{\text{ВЫХ}}\left[1+\frac{4R}{(1-R)^2}\sin^2\!\left(\frac{2\pi L}{\lambda}\bigl(n_0+\gamma I_{\text{ВЫХ}}\bigr)\right)\right].\] Решать это уравнение относительно \(I_{\text{ВЫХ}}\) трудно, но для графика достаточно вычислять \(I_{\text{ВХ}}\) как функцию \(I_{\text{ВЫХ}}\) и построить обратную зависимость. Получаем кривую, на которой одному значению \(I_{\text{ВХ}}\) в некотором интервале отвечают три значения \(I_{\text{ВЫХ}}\). Средний участок неустойчив: малое увеличение \(I_{\text{ВХ}}\) уменьшает пропускание, а значит, и \(I_{\text{ВЫХ}}\), и так далее. Устойчивы два крайних участка, поэтому при увеличении \(I_{\text{ВХ}}\) выходная интенсивность идёт по нижней ветви, а затем скачком переходит на верхнюю; при уменьшении \(I_{\text{ВХ}}\) скачок происходит при другом значении. Возникает бистабильность (гистерезис): значение \(I_{\text{ВЫХ}}\) зависит от направления изменения \(I_{\text{ВХ}}\).

1.2 «Грязный космос». Пусть ракета прошла в облаке путь \(x\); она захватила массу пыли \(\rho Sx\). По закону сохранения импульса \[m\upsilon_0=(m+\rho Sx)\,\upsilon(x).\] На выходе, при \(x=L\), \[\upsilon=\frac{m\upsilon_0}{m+\rho SL}.\] Время пролёта: \(dt=dx/\upsilon=\dfrac{1}{\upsilon_0}\left(1+\dfrac{\rho S x}{m}\right)dx\), поэтому \[t=\int_0^L\frac{dx}{\upsilon}=\frac{L}{\upsilon_0}\left(1+\frac{\rho SL}{2m}\right).\] Это же можно получить без интегрирования как площадь трапеции под графиком \(1/\upsilon\) от \(x\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.