Музыка

Для каждого инструмента определите, от чего зависит частота: у колокола — только от размеров и свойств стали, у трубы — от скорости звука в воздухе, у струны — ещё и от натяжения, которое меняется при расширении.

i) колокола: \(f\approx330{,}04\) Гц (практически не меняется); орган: \(f\approx341\) Гц; гитара: \(f\approx325\) Гц;  ii) гелиокс меняет только звук органа: \(f\approx561\) Гц.

i) Для трубчатых колоколов скорость звука в стали можно найти методом размерностей. Она может зависеть от модуля Юнга \(E\) и плотности \(\rho\). Получаем \(v\propto\sqrt{\dfrac E\rho}\propto\sqrt{\dfrac{EL^3}{m}}\), где \(L\) — характерный размер колокола. Скорость, частота и длина волны связаны соотношением \(f=\dfrac v\lambda\). Чтобы существовала стоячая волна на колоколе, длина волны должна быть пропорциональна его характерному размеру, потому что на концах пучности: \(\lambda\propto L\). Получаем \(f\propto\dfrac{\sqrt{L^3}}{L}=\sqrt L\). Из-за теплового расширения длины масштабируются множителем \((1+\alpha\Delta T)\), где \(\alpha\) — коэффициент теплового расширения. Используя это, имеем \(f=f_0\sqrt{1+\alpha\Delta T}\approx330{,}04\) Гц. Это очень небольшое изменение по сравнению с \(f_0=330\) Гц.

Для органной трубы также имеем \(f=\dfrac v\lambda\). Звук создаётся стоячей волной в столбе воздуха. Скорость \(v\) в формуле — это скорость звука в воздухе. Как и в предыдущем случае, для существования стоячей волны длина волны должна быть пропорциональна длине трубы, и длина масштабируется множителем \((1+\alpha\Delta T)\). Поскольку \(\alpha\Delta T\approx2{,}4\times10^{-4}\) много меньше изменения скорости звука, этим можно пренебречь. Используя заданную формулу для скорости звука, имеем \[f=f_0\sqrt{1+\frac{45}{273{,}15}}\Big/\sqrt{1+\frac{25}{273{,}15}}\approx341\text{ Гц}.\] Это значительное изменение.

Для гитарной струны скорость волны может зависеть от массы струны \(m\), длины \(L\) и натяжения \(T\). Методом размерностей получаем \(v\propto\sqrt{\dfrac{LT}{m}}\). Более точный вывод покажет, что коэффициент пропорциональности равен 1, что было бы простейшим предположением. Самая низкая частота на струне соответствует длине волны \(2L\), потому что на концах струны волна должна иметь узлы. Натяжение задаётся формулой \(T=ES\Delta L/L\), где \(\Delta L\) — изменение длины струны под действием натяжения, а \(S\) — площадь поперечного сечения струны. Собирая всё вместе: \[f=\frac{\sqrt{\dfrac{LT}{m}}}{2L}=\frac{\sqrt{\dfrac{LES\Delta L/L}{\rho SL}}}{2L}=\frac{\sqrt{\dfrac{E\Delta L/L}{\rho}}}{2L}.\] Найдём \(\dfrac{\Delta L}{L}=\dfrac\rho E(2Lf)^2\approx7{,}3\times10^{-3}\). Когда температура повышается и струна растягивается, относительное удлинение \(\dfrac{\Delta L}{L}\) уменьшается на \(\alpha\Delta T\), \[\frac{\Delta L}{L}\to\frac{\Delta L}{L}-\alpha\Delta T=\frac{\Delta L}{L}\left(1-\frac{\alpha\Delta T}{\Delta L/L}\right)=\frac{\Delta L}{L}\left(1-3{,}3\times10^{-2}\right).\]

Это пропорциональное изменение больше, чем изменения в других множителях (длины масштабируются множителем \((1+\alpha\Delta T)\), и этим можно пренебречь). Получаем \(f=f_0\sqrt{1-3{,}3\times10^{-2}}\approx325\) Гц. Это тоже значительное изменение, когда инструменты играют вместе.

ii) Для трубчатых колоколов и для гитары частота определяется свойствами металла и скоростью звука в металле, поэтому в гелиоксе она не меняется. У органной трубы звук создаётся непосредственно колеблющимся столбом воздуха в трубе, и замена воздуха на гелиокс изменит частоту. Длина волны определяется длиной трубы, и, поскольку частота \(f=\dfrac v\lambda\), она изменится пропорционально скорости звука, \(f=1{,}7\cdot f_0\approx561\) Гц. Это очень значительное изменение.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.