Подвешенный заряженный шарик

Нить натянута вдоль равнодействующей силы тяжести и электрической силы. Поле кольца на его оси найдите суммированием вкладов малых участков: все точки кольца удалены от шарика на одно и то же расстояние — длину нити.

В равновесии нить натянута в направлении равнодействующей сил \(\vec G = m\vec g\) и \(\vec F = q\vec E\), где \(\vec E\) — напряжённость электрического поля кольца на оси на расстоянии \(x\) от плоскости кольца, см. рис. 3. Из подобия треугольников можно записать \[\frac{x}{R} = \frac{Eq}{mg}. \qquad (11)\]

Для вычисления напряжённости электрического поля разделим кольцо на \(n\) одинаковых частей, так что каждая часть несёт заряд \(Q/n\). Модуль напряжённости электрического поля одной части кольца равен \[\Delta E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0l^2n}.\]

Эту напряжённость можно разложить на составляющую вдоль оси \(x\) и составляющую, перпендикулярную оси \(x\), см. рис. 4. Модули обеих составляющих равны \[\Delta E_x = \Delta E\cos\alpha = \frac{\Delta E\,x}{l},\] \[\Delta E_\perp = \Delta E\sin\alpha.\] Из симметрии следует, что для каждой части кольца существует другая часть, составляющая \(\Delta\vec E_\perp\) которой имеет тот же модуль, но противоположное направление. Следовательно, составляющие, перпендикулярные оси, взаимно компенсируются, и результирующая напряжённость электрического поля имеет модуль \[E = E_x = n\Delta E_x = \frac{Qx}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \qquad (12)\] Подставляя (12) в (11), получаем для длины нити \[l = \sqrt[3]{\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}}.\] Численно: \[l = \sqrt[3]{\frac{9{,}0\cdot10^{-8}\cdot9{,}0\cdot10^{-8}\cdot5{,}0\cdot10^{-2}}{4\pi\cdot8{,}9\cdot10^{-12}\cdot10^{-3}\cdot9{,}8}}\text{ м} = 7{,}2\cdot10^{-2}\text{ м}.\]