Шайба на качающейся планке

Поскольку все части системы, кроме груза массой \(M\), лёгкие, то можно считать, что груз совершает свободные колебания на невесомом подвесе длиной \(L - h\). При этом на него действуют сила тяжести \(Mg\), направленная вниз, и сила натяжения стержня \(T\), направленная вдоль стержня (см. рис. 1.90).

Уравнения вращательного движения груза на подвесе в проекциях на радиальное и тангенциальное направления имеют вид: \(Ma_{\text{цс}} = T - Mg\cos\alpha\) и \(Ma_{\text{т}} = Mg\sin\alpha\). Здесь \(a_{\text{цс}}\) — центростремительное, \(a_{\text{т}}\) — тангенциальное ускорение груза, \(\alpha\) — угол отклонения стержней от вертикали. Ясно, что шайба, лежащая на шероховатой планке, колеблется так же, как нижние концы стержней, расположенные на расстоянии \(L\) от точек подвеса, и имеет проекции ускорения на те же направления, в \(L/(L - h)\) раз бо́льшие, чем груз: \(a_{\text{цс}}^{\text{ш}} = a_{\text{цс}}L/(L - h)\) и \(a_{\text{т}}^{\text{ш}} = a_{\text{т}}L/(L - h) = g\sin\alpha\cdot L/(L - h)\). Уравнение движения шайбы в проекции на вертикальную ось имеет вид: \(N - mg = m(a_{\text{цс}}^{\text{ш}}\cos\alpha - a_{\text{т}}^{\text{ш}}\sin\alpha)\), где \(m\) — масса шайбы, \(N\) — сила реакции со стороны планки. Шайба начинает подпрыгивать на планке при \(N = 0\), то есть когда \[g\left(\sin^2\alpha\cdot\dfrac{L}{L - h} - 1\right) = a_{\text{цс}}^{\text{ш}}\cos\alpha.\] Раньше всего отрыв шайбы от планки будет происходить в моменты максимального отклонения, когда скорость шайбы и её центростремительное ускорение \(a_{\text{цс}}^{\text{ш}} = 0\), откуда искомое значение минимального угла \(\alpha_{\min}\) соответствует \(\sin\alpha_{\min} = \sqrt{1 - (h/L)}\).