Санки на горке с песком

Как сказано в условии, весь путь санок состоит из трёх участков, одинаковых по длине. Для того, чтобы санки доехали до конца горки, необходимо, чтобы они преодолели второй участок горки, коэффициент трения на котором равен \(\mu\). Обозначим высоту горки через \(H\), массу санок — через \(m\). Тогда длина горки равна \(L = H/\sin\alpha\).

Санки, пройдя первый участок пути \(L/3\), опустятся на высоту \(H/3\) и по действием силы тяжести приобретут скорость \(v_1 = \sqrt{2gH/3}\). На втором участке на санки начинает действовать ещё и сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\cos\alpha\), где \(\alpha\) — угол наклона горки к горизонту. К концу второго участка скорость санок станет равной \[v_2 = \sqrt{v_1^2 + \dfrac{2gH}{3} - \dfrac{2F_{\text{тр}}}{m}\cdot\dfrac{L}{3}} = \sqrt{\dfrac{4gH}{3} - \dfrac{2\mu gL\cos\alpha}{3}} = \sqrt{\dfrac{4gH}{3} - \dfrac{2\mu gH\cos\alpha}{3\sin\alpha}}.\] Для того, чтобы санки преодолели второй участок горки, нужно, чтобы скорость \(v_2\) была больше нуля, то есть должно выполняться условие: \(\dfrac{4gH}{3} - \dfrac{2\mu gH\cos\alpha}{3\sin\alpha} > 0\). Отсюда \(\mu < 2\operatorname{tg}\alpha\).