Шарик в жидкости с боковой силой

До приложения силы \(f\) выполнялось равенство: \((m - \rho V)g = kv^2\), где \(k\) — коэффициент пропорциональности между силой сопротивления движению шарика и его скоростью. После приложения дополнительной силы \(f\) суммарная сила \(\vec F\), действующая на шарик, равна по величине \(F = ku^2 = \sqrt{(m - \rho V)^2g^2 + f^2}\) и направлена вместе с вектором установившейся скорости \(\vec u\) под таким углом \(\alpha\) к вертикали, что \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{f}{(m - \rho V)g}\). Поэтому вертикальная проекция скорости шарика станет равной \(v_1 = u\cos\alpha\): \[v_1 = \dfrac{\left((m - \rho V)^2g^2 + f^2\right)^{1/4}}{\dfrac{\sqrt{(m - \rho V)g}}{v}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{f^2}{(m - \rho V)^2g^2}}} = \dfrac{v}{\left(1 + \dfrac{f^2}{(m - \rho V)^2g^2}\right)^{1/4}}.\]