Корабль

Сдвиньте мысленно момент старта и финиша на малое время: пройденный путь изменится на величину, зависящую от скоростей течения в эти два момента. Оптимально, когда эта величина равна нулю.

Старт из пункта \(A\) в 22:20, из пункта \(B\) в 04:20.

Покажем, что корабль должен двигаться так, чтобы скорости течения в момент старта \(t_s\) и в момент финиша \(t_f\) были равны, \(v(t_s)=v(t_f)\). Сделаем это от противного. Рассмотрим для конкретности движение в направлении \(B\), когда скорость корабля относительно берега равна \(v_0+v(t)\). В таком случае пройденное расстояние \(L\) есть площадь области между графиком \(v(t)\) и прямой \(v=-v_0\). Сдвинем время старта и финиша на малый промежуток времени \(\Delta t\). Проходимое расстояние при этом изменится на \(\Delta t\,(v_f-v_s)\). Если \(v(t_s)\ne v(t_f)\), то можно выбрать знак \(\Delta t\) так, чтобы \(\Delta t\,(v_f-v_s)>0\), то есть за то же время пройденное расстояние увеличится, став большим, чем \(L\). Тогда время движения можно было бы уменьшить, и момент старта не был оптимальным.

Условиям, объяснённым выше (скорости в момент старта и финиша равны, площадь между графиком и прямой \(v=-v_0\) равна 20 км), соответствуют времена старта из пункта \(A\) в 22:20 и из пункта \(B\) в 04:20.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.