Маховик

Растягивающее напряжение в быстро вращающемся кольце создаётся центробежными силами, и оно связано с \(\omega\) и радиусом кольца. Выразите энергию на единицу массы через напряжение и плотность.

a) \(w=\dfrac12\omega^2R^2\);  b) \(E/m=\sigma_{\max}/(2\rho)=800\) кДж/кг.

a) Кинетическая энергия маховика \(K=\dfrac12M\omega^2R^2\), поэтому плотность запасания энергии \(w=E/M=\dfrac12\omega^2R^2\).

Пусть радиус кольца \(r\), масса \(m\). Механическое напряжение в кольце (\(\sigma\)) определяется центробежной силой, с которой две половины кольца растягиваются друг от друга. Рассмотрим небольшой участок одной половины кольца длиной \(\Delta l\). Его масса \(\Delta m=(\Delta l/2\pi r)\,m\), и на него действует центробежная сила величиной \(\Delta F=\Delta m\,\omega^2r\), где \(\omega\) — угловая скорость вращения. Проекция этой силы на вертикаль (см. рисунок) \[\Delta F_\parallel=\Delta F\cos\alpha=\frac{m\omega^2}{2\pi}\Delta l\cos\alpha.\] Но \(\Delta l\cos\alpha\) — проекция отрезка \(\Delta l\) на горизонталь. Следовательно, суммарная сила, действующая на одну половину кольца, выражается как \[F=\sum\Delta F_\parallel=\frac{m\omega^2}{2\pi}\,2r=\frac{m\omega^2r}{\pi}.\] С другой стороны, \(F=2\sigma S\), где \(S\) — поперечное сечение кольца. Последнюю величину подставляем из соотношения \[m=\rho V=\rho(2\pi rS)\ \Rightarrow\ S=\frac{m}{2\pi r\rho}.\] В итоге получаем \[\sigma=\frac{F}{2S}=\omega^2r^2\rho.\] Кинетическая энергия кольца \[E=\frac{mv^2}{2}=\frac{m\omega^2r^2}{2}=\frac{m\sigma}{2\rho},\] откуда \(E/m=\sigma/2\rho\). Взяв \(\sigma=\sigma_{\max}\), получаем \(E/m=800\) кДж/кг.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.