Шайбы на стержне

Разложите скорости шайб на составляющие вдоль стержня и перпендикулярно ему. Для компонент вдоль стержня выполняется одно и то же условие, а закон сохранения импульса и энергии даст остальные связи.

Разложим скорости шайб на составляющие, параллельные и перпендикулярные стержню в конечном положении: \[\vec V_1 = \vec u + \vec u_1, \qquad \vec V_2 = \vec u + \vec u_2.\]

Вектор \(\vec u\) направлен вдоль стержня. Так как длина стержня не меняется при движении, эта составляющая одинакова для обеих шайб. Векторы \(\vec u_1\) и \(\vec u_2\) перпендикулярны стержню. Поскольку шайбы движутся без трения, их суммарный импульс сохраняется: \[m_2\vec V_0 = m_1\vec V_1 + m_2\vec V_2 \;\Rightarrow\; 2\vec V_0 = 3\vec u + \vec u_1 + 2\vec u_2.\] Направим оси неподвижной системы координат вдоль начального и конечного положений стержня. В проекциях имеем: \[2V_0 = 3u \;\Rightarrow\; u = \frac{2V_0}{3}, \qquad 0 = -u_1 + 2u_2 \;\Rightarrow\; u_1 = 2u_2.\] Далее воспользуемся законом сохранения энергии: \[2V_0^2 = 3u^2 + u_1^2 + 2u_2^2.\] Подставляя сюда полученные выше выражения для \(u\) и \(u_1\), находим составляющую скорости \(u_2\): \[2V_0^2 = \frac{4V_0^2}{3} + 4u_2^2 + 2u_2^2 \;\Rightarrow\; u_2^2 = \frac{V_0^2}{9} \;\Rightarrow\; u_2 = \frac{V_0}{3}.\]

Так как вектор \(\vec u\) направлен вдоль стержня, искомый угол \(\alpha\) есть угол между векторами \(\vec u\) и \(\vec V_2\): \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{u_2}{u} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} \approx 27^\circ.\]