Цикл из двух изохор и двух изобар

Выразите работу за цикл как площадь прямоугольника в координатах \(P\)–\(V\). Тепло получается только на участках, где газ нагревается, поэтому учтите процессы \(1\!\to\!2\) и \(2\!\to\!3\).

Обозначим минимальное давление в цикле как \(P_0\), а максимальное \(P_{max}\). Пронумеруем точки цикла по часовой стрелке следующим образом: изохорический процесс с увеличением давления от \(P_0\) до \(P_{max}\) — процесс \(1\)–\(2\), изобарический процесс с увеличением объема от \(V_0\) до \(nV_0\) — процесс \(2\)–\(3\), изохорический процесс с уменьшением давления от \(P_{max}\) до \(P_0\) — процесс \(3\)–\(4\), изобарический процесс с уменьшением объема от \(nV_0\) до \(V_0\) — процесс \(4\)–\(1\). Найдем максимальное давление \(P_{max}\) в цикле из подобия прямоугольных треугольников: \[\frac{P_0}{V_0} = \frac{P_{max}}{nV_0} \;\Rightarrow\; P_{max} = nP_0.\] Найдем работу над газом за цикл как площадь прямоугольника \(1\)–\(2\)–\(3\)–\(4\): \[A = P_0V_0(n-1)^2.\] Молярная теплоемкость при постоянном объеме равна \(c_v = \dfrac{i}{2}R\). Напишем уравнение Майера: \(c_p - c_v = R\), где \(c_p\) — молярная теплоемкость при постоянном давлении. Количество теплоты \(Q\) будет подводиться к циклу в процессах \(1\)–\(2\) и \(2\)–\(3\), тогда: \[Q = \frac{c_v}{R}P_0V_0(n-1) + \frac{c_v + R}{R}P_0V_0\,n(n-1).\] Отсюда получаем: \[k = \frac{Q}{A} = \frac{c_v}{R}\cdot\frac{1}{n-1} + \frac{c_v + R}{R}\cdot\frac{n}{n-1} = \frac{c_v(n+1) + nR}{R(n-1)} \approx 9{,}22 \;\Rightarrow\; k \approx 922\,\%.\]