Четырёхугольная пирамида из резисторов

Используйте зеркальную симметрию схемы относительно плоскости, проходящей через точку \(O\) и середины \(AB\) и \(DC\): распределение токов тоже симметрично, поэтому точку \(O\) можно разорвать без изменения токов.

Пусть положительный полюс батареи подключён к точке \(A\), а отрицательный — к точке \(B\). Перерисуем пирамиду в виде плоской схемы и рассмотрим распределение токов в ветвях. Так как при подключении батареи к точкам \(A\) и \(B\) схема зеркально симметрична относительно прямой \(L\), проходящей через точку \(O\) и середины отрезков \(AB\) и \(DC\), распределение токов также обладает зеркальной симметрией. В частности, по отрезкам \(AO\) и \(OB\) течёт один и тот же ток \(I_2\), а по отрезкам \(DO\) и \(OC\) один и тот же ток \(I_3\). Поэтому точку \(O\) можно разорвать без изменения распределения токов. В результате получаем простую схему, в которой можно легко найти ток \(I\).

Верхний треугольник, по которому текут токи \(I_3\) и \(I_4\), состоит из двух сопротивлений \(R\) и \(2R\), соединённых параллельно. Этот треугольник можно заменить одним эквивалентным сопротивлением \(2R/3\). Тогда полное сопротивление \(R'\) участка \(ADCB\) равно: \[R' = R + \frac{2R}{3} + R = \frac{8R}{3}.\] Для тока \(I\) получаем: \[I = \frac{V}{R'} = \frac{3V}{8R} = 28{,}1~\text{мА}.\]