Плот и катер

Выразите время движения лодки против течения и по течению через скорость реки и скорость лодки относительно воды. Удобно ввести отношение времён.

Пусть скорость течения реки \(u\). Тогда расстояние от «Дубков» до «Грибков» равно \(L = ut_0\), где \(t_0\) — время плавания на плоту.

Пусть скорость моторной лодки относительно воды равна \(v\). Тогда время \(t_1\), затраченное на движение от «Грибков» до «Дубков», равно: \[t_1 = \frac{L}{v-u} = t_0\,\frac{u}{v-u}.\] На обратный путь потребовалось время \[t_2 = \frac{L}{v+u} = t_0\,\frac{u}{v+u}.\] Всё время плавания на лодке оказалось равным \[t_{12} = t_1 + t_2 = t_0\,\frac{2vu}{v^2 - u^2}.\] Выразим скорость моторной лодки через скорость течения реки, решив квадратное уравнение относительно \(v\): \[v^2 - 2\,\frac{t_0}{t_{12}}\,uv - u^2 = 0, \qquad \text{отсюда} \qquad v = u\left[\frac{t_0}{t_{12}} + \sqrt{1 + \left(\frac{t_0}{t_{12}}\right)^2}\right].\] Искомое время: \[t_1 = t_0\,\frac{u}{v-u} = \frac{t_0\,t_{12}}{t_0 - t_{12} + \sqrt{t_{12}^2 + t_0^2}} = 20~\text{минут}.\]