Задачи › Неинерциальные системы отсчёта

Вращающаяся нейтронная звезда

  1. Вращающаяся нейтронная звезда

    IPhO 1989/90, 11 кл.
    5/10

    «Миллисекундный пульсар» — это источник излучения во Вселенной, испускающий очень короткие импульсы с периодом от одной до нескольких миллисекунд. Это излучение лежит в радиодиапазоне длин волн, и с помощью подходящего радиоприёмника можно регистрировать отдельные импульсы и тем самым с большой точностью измерять период.

    Эти радиоимпульсы исходят с поверхности звезды особого типа — так называемой нейтронной звезды. Эти звёзды очень компактны: их масса того же порядка, что и масса Солнца, а радиус — всего несколько десятков километров. Они вращаются очень быстро. Из-за быстрого вращения нейтронная звезда слегка сплюснута. Считайте, что осевое сечение поверхности — эллипс с почти равными осями. Пусть \(r_p\) — полярный, а \(r_e\) — экваториальный радиусы; определим коэффициент сплюснутости как \[\epsilon = \frac{(r_e - r_p)}{r_p}.\] Рассмотрим нейтронную звезду с массой \(2{,}0\cdot 10^{30}\) кг, средним радиусом \(1{,}0\cdot 10^4\) м и периодом вращения \(2{,}0\cdot 10^{-2}\) с.

    a) Вычислите коэффициент сплюснутости, если гравитационная постоянная равна \(6{,}67\cdot 10^{-11}\) Н\(\cdot\)м\(^2\cdot\)кг\(^{-2}\).

    С течением времени (за много лет) вращение звезды замедляется из-за потерь энергии, и это приводит к уменьшению сплюснутости. Однако у звезды есть твёрдая кора, которая плавает на жидкой внутренней части. Твёрдая кора препятствует непрерывной подстройке под равновесную форму. Вместо этого происходят звездотрясения — внезапные изменения формы коры в сторону равновесной. Наблюдается, что во время и после такого звездотрясения угловая скорость изменяется так, как показано на рисунке 1.

    Рисунок

    Рис. 1. Внезапное изменение формы коры нейтронной звезды приводит к внезапному изменению угловой скорости. По вертикальной оси — угловая скорость коры (с\(^{-1}\)), по горизонтальной — время (сутки).

    b) Вычислите средний радиус жидкой внутренней части, используя данные рис. 1. Примите приближение, что плотности коры и внутренней части одинаковы. (Изменением формы внутренней части пренебрегите.)

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Поверхность звезды перпендикулярна сумме силы тяготения и центробежной силы (или: на поверхности постоянна сумма гравитационного и центробежного потенциалов). Скачок угловой скорости коры и последующее выравнивание скоростей коры и ядра — два закона сохранения момента импульса.

    Ответ

    a) \(\epsilon \approx \dfrac{\omega^2 r^3}{2GM} \approx 3{,}7\cdot 10^{-4}\);  b) \(\dfrac{r_c}{r} = \sqrt{1 - \dfrac{(\omega_2 - \omega_0)\,\omega_1}{(\omega_1 - \omega_0)\,\omega_2}} \approx 0{,}95\).

    Решение

    a) 1-й способ. Для равновесия имеем \(F_c = F_g + N\), где \(N\) — нормаль к поверхности.

    Рисунок

    Раскладывая на горизонтальные и вертикальные составляющие, находим: \[F_g\cos\phi = F_c + N\sin\alpha, \quad F_g\sin\phi = N\cos\alpha \;\to\; F_g\cos\phi = F_c + F_g\sin\phi\operatorname{tg}\alpha.\] Из \[F_g = \frac{GM}{r^2}, \quad F_c = \omega^2 r, \quad x = r\cos\phi, \quad y = r\sin\phi \quad\text{и}\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{dy}{dx}\] находим: \[y\,dy + \left(1 - \frac{\omega^2 r^3}{GM}\right)x\,dx = 0, \qquad (1)\] где \[\frac{\omega^2 r^3}{GM} \approx 7\cdot 10^{-4}.\] Это означает, что, хотя \(r\) зависит от \(x\) и \(y\), изменение множителя перед \(x\,dx\) настолько мало, что его можно считать постоянным. Решение уравнения (1) тогда — эллипс: \[\frac{x^2}{r_e^2} + \frac{y^2}{r_p^2} = 1 \;\to\; \frac{r_p}{r_e} = \sqrt{1 - \frac{\omega^2 r^3}{GM}} \approx 1 - \frac{\omega^2 r^3}{2GM},\] откуда следует, что \[\epsilon = \frac{r_e - r_p}{r_e} = \frac{\omega^2 r^3}{2GM} \approx 3{,}7\cdot 10^{-4}.\]

    2-й способ. Для точечной массы 1 кг на поверхности \[U_{pot} = -\frac{GM}{r}, \qquad U_{kin} = \frac12\,\omega^2 r^2\cos^2\phi.\] Форма поверхности такова, что \(U_{pot} - U_{kin} = \text{const}\). Для экватора (\(\Phi = 0\), \(r = r_e\)) и полюса (\(\Phi = \pi/2\), \(r = r_p\)) имеем: \[\frac{GM}{r_p} = \frac{GM}{r_e} + \frac12\,\omega^2 r_e^2 \;\to\; \frac{r_e}{r_p} = 1 + \frac{\omega^2 r_e^3}{2GM}.\] Таким образом, \[\epsilon = \frac{r_e - r_p}{r_e} = \frac{1 + \dfrac{\omega^2 r_e^3}{2GM} - 1}{1 + \dfrac{\omega^2 r_e^3}{2GM}} \approx \frac{\omega^2 r_e^3}{2GM} \approx 3{,}7\cdot 10^{-4}.\]

    b) Вследствие звездотрясения момент инерции коры \(I_m\) уменьшается на \(\Delta I_m\).

    Рисунок

    Из закона сохранения момента импульса имеем: \[I_m\omega_0 = (I_m - \Delta I_m)\,\omega_1 \;\to\; \Delta I_m = I_m\,\frac{\omega_1 - \omega_0}{\omega_1}.\] После того как внутреннее трение выровняет угловые скорости коры и ядра, имеем: \[(I_m + I_c)\,\omega_0 = (I_m + I_c - \Delta I_m)\,\omega_2 \;\to\; \Delta I_m = (I_m + I_c)\,\frac{\omega_2 - \omega_0}{\omega_2},\] \[\frac{I_m}{I_m + I_c} = \frac{(\omega_2 - \omega_0)\,\omega_1}{(\omega_1 - \omega_0)\,\omega_2} \;\to\; 1 - \frac{I_c}{I_m + I_c} = \frac{(\omega_2 - \omega_0)\,\omega_1}{(\omega_1 - \omega_0)\,\omega_2},\] \[I \propto R^2\]

    \[\to\; \frac{I_c}{I_m + I_c} = \frac{r_c^2}{r^2} \;\to\; \frac{r_c}{r} = \sqrt{1 - \frac{(\omega_2 - \omega_0)\,\omega_1}{(\omega_1 - \omega_0)\,\omega_2}} \approx 0{,}95.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх