Трубка на центрифуге

Сила со стороны стенки обращается в ноль при некоторой угловой скорости. Для положений поршня, отличных от исходного, запишите второй закон Ньютона и уравнение Бойля–Мариотта, затем исследуйте квадратное уравнение на корни.

Сила \(N\) со стороны ближней к оси стенки цилиндра, действующая на поршень в исходном положении, по второму закону Ньютона: \(m\omega^2 l = p_0 S - N\). С ростом \(\omega\) сила \(N\) уменьшается; отрыв поршня от стенки происходит, когда \(N = 0\), т. е. \(p_0 S - m\omega^2 l = 0\), откуда \(\omega_1 = \sqrt{\dfrac{p_0 S}{ml}} \approx 22{,}4\) с\(^{-1}\).

При постоянной температуре \(pV = p_0 S a = \text{const}\). Пусть \(x\) — смещение поршня от исходного положения, тогда \(V = S(a - x)\), и газ действует на поршень с силой \(F_p = pS = \dfrac{a}{a - x}\,p_0 S\). Уравнение движения поршня \(m\omega^2 (l + x) = \dfrac{a}{a - x}\,p_0 S\) приводится к виду \[x^2 - x(a - l) + \left(\frac{\omega_1^2}{\omega^2} - 1\right) al = 0.\] При \(\omega = \omega_1\) одно из положений равновесия \(x_0 = 0\), второе \(x_1 = a - l\). Положение \(x_0\) неустойчиво: при \(x_0 < x < x_1\) выполняется \(m\omega_1^2(l + x) > \dfrac{a}{a - x}\,p_0 S\), т.е. небольшое смещение от \(x_0\) не удерживается газом. Поэтому поршень переходит в устойчивое положение \(x_1 = a - l = 0{,}4\) м.

При медленном уменьшении \(\omega\) при некотором \(\omega = \omega_2\) корни квадратного уравнения совпадают (дискриминант равен нулю). Тогда положение равновесия при смещении влево становится неустойчивым и поршень возвращается в исходное положение \(x = 0\). Приравнивая дискриминант нулю, \[(a - l)^2 - 4al\left(\frac{\omega_1^2}{\omega_2^2} - 1\right) = 0, \qquad \omega_2 = \frac{2\sqrt{al}}{a + l}\,\omega_1 \approx 16{,}7~\text{с}^{-1}.\]