Шайбы и стенка

При ударе шайб сила взаимодействия направлена по линии центров, поэтому касательная к точке контакта составляющая скорости не меняется. Для упругого удара шайб равной массы нормальные составляющие скоростей обмениваются.

Через точку контакта шайб проводим касательную и нормаль через центры шайб. Нормаль образует угол \(\alpha\) со стенкой и с направлением скорости \(v\), причём \[\sin\alpha = \frac{R - r}{R + r} = \frac{3}{4}.\] Проекции скорости \(v\): на нормаль \(v_n = v\cos\alpha\), на касательную \(v_\tau = v\sin\alpha\).

При первом столкновении силы направлены по нормали, поэтому касательная составляющая скорости большой шайбы остаётся нулевой, а малой — \(v_\tau\). Для упругого удара шайб равной массы нормальные составляющие обмениваются: большая шайба получает \(u_{1n} = v_n\), малая — \(v_{1n} = 0\).

Малая шайба после отскока от стенки сохраняет величину скорости \(v_\tau\), но её направление составляет угол \(2\alpha\) с касательной. При \(v_\tau \sin 2\alpha > u_{1n}\) малая шайба догонит большую, это выполняется, так как \(\sin\alpha\sin 2\alpha > \cos\alpha\) при заданных \(r\) и \(R\).

Второе столкновение шайб даёт большой шайбе нормальную составляющую \(u_{2n} = v_\tau \sin 2\alpha\), после чего шайбы удаляются друг от друга и от стенки, новых столкновений нет. Скорость большой шайбы \[u = u_{2n} = v\sin\alpha\,\sin 2\alpha = 2v\sin^2\!\alpha\cos\alpha = \frac{9\sqrt{7}}{32}\,v \approx 0{,}74\,v.\]