Автомобиль на конвейере

Мощность двигателя равна сумме мощностей, затрачиваемых на сопротивление воздуха и на трение качения, а сопротивление воздуха зависит от скорости автомобиля относительно воздуха. Сначала найдите коэффициент сопротивления и силу трения качения по безветренному случаю.

Силы трения: \(F_{\text{В}}\) (о воздух) и \(F_{\text{К}}\) (качения) уравновешиваются силой трения \(F_{\text{Т}}\) между колёсами и дорогой. Момент силы трения \(M = F_{\text{Т}} r = (F_{\text{В}} + F_{\text{К}}) r\), где \(r\) — радиус колёс. Мощность двигателя \[P = M\omega = (F_{\text{В}} + F_{\text{К}})\,v_{\text{отн}},\] где \(v_{\text{отн}}\) — скорость автомобиля относительно конвейера. По условию \(F_{\text{В}} = k v_{\text{В}}^2\), где \(v_{\text{В}}\) — скорость воздуха относительно автомобиля.

Конвейер неподвижен, ветра нет: \(\dfrac{P}{2} = k v_0^3 = F_{\text{К}} v_0\), откуда \(k = \dfrac{P}{2v_0^3}\), \(F_{\text{К}} = \dfrac{P}{2v_0}\).

Конвейер неподвижен, ветер встречный: \(P = \bigl(k(v_1 + v_0)^2 + F_{\text{К}}\bigr)v_1\). Подставляя \(k\) и \(F_{\text{К}}\), получаем для \(x = v_1/v_0\) уравнение \[x^3 + 2x^2 + 2x - 2 = 0,\] откуда \(x \approx 0{,}575\), т. е. \(v_1 \approx 0{,}575\,v_0 \approx 11{,}5\) м/с.

Конвейер движется, ветра нет: воздух неподвижен относительно земли, поэтому \(v_{\text{В}} = v_2\), а \(v_{\text{отн}} = v_2 + v_0\): \(P = (k v_2^2 + F_{\text{К}})(v_0 + v_2)\). Для \(y = v_2/v_0\) получаем \[y^3 + y^2 + y - 1 = 0,\] откуда \(y \approx 0{,}544\), т. е. \(v_2 \approx 0{,}544\,v_0 \approx 10{,}9\) м/с.