Гонка двух автомобилей

Поскольку автомобили после старта движутся с ускорениями, то давления, оказываемые на дорогу передними и задними колёсами каждого автомобиля, различны. В условии сказано, что водители «выжимают» из автомобилей всё возможное. Будем считать, что мощности двигателя у обоих автомобилей при довольно небольшой их массе достаточно для того, чтобы в начальный период разгона ведущие колёса пробуксовывали (это надо будет проверить!). Значит, сила трения \(F_{\text{тр}}\), движущая автомобиль и приложенная к ведущим колёсам, равна произведению коэффициента трения \(\mu\) на силу реакции, действующую со стороны дороги на пару ведущих колёс.

Запишем для каждого из автомобилей уравнение моментов относительно горизонтальной оси \(O\), перпендикулярной направлению движения, находящейся над дорогой на высоте центра масс автомобиля и лежащей над осью неведущих колёс. Для переднеприводного автомобиля имеем: \[mg\dfrac{L}{2} = N_1L + \mu N_1H,\] а для заднеприводного: \[mg\dfrac{L}{2} + \mu N_2H = N_2L.\] Здесь \(N_1\) и \(N_2\) — силы реакции, действующие на передние и задние колёса соответственно. Отсюда для переднеприводного автомобиля \(N_1 = \dfrac{mgL}{2(L + \mu H)}\), а для заднеприводного \(N_2 = \dfrac{mgL}{2(L - \mu H)}\).

Ускорения переднеприводного автомобиля \(a_{\text{п}}\) и заднеприводного \(a_{\text{з}}\) равны: \[a_{\text{п}} = \dfrac{\mu N_1}{m} = \dfrac{\mu gL}{2(L + \mu H)} \approx 3{,}4\text{ м/с}^2,\] \[a_{\text{з}} = \dfrac{\mu N_2}{m} = \dfrac{\mu gL}{2(L - \mu H)} \approx 4{,}9\text{ м/с}^2.\] Так как ускорение заднеприводного автомобиля больше, то он и победит в заезде на дистанцию \(S = 10\) м. Вычислим, на какое время победитель обгонит побеждённого. Переднеприводный автомобиль придёт к финишу через время \(t_{\text{п}} = \sqrt{2S/a_{\text{п}}} \approx 2{,}4\) с, а заднеприводный — через время \(t_{\text{з}} = \sqrt{2S/a_{\text{з}}} \approx 2{,}0\) с. Таким образом, разница времён составит \(\Delta t = t_{\text{п}} - t_{\text{з}} \approx 0{,}4\) с.

Осталось проверить, хватит ли мощности \(N = 100\) кВт для пробуксовки в конце разгона. Для этого надо найти конечную скорость \(v_{\text{к}}\) заднеприводного автомобиля (она больше, чем у переднеприводного!), и умножить её на силу трения: \(N_{\text{к}} = F_{\text{тр}}v_{\text{к}} = ma_{\text{з}}\cdot\sqrt{2a_{\text{з}}S} \approx 48{,}5\) кВт. Значит, в конце заезда пробуксовка у обоих автомобилей ещё не кончится, и наше решение правильно.