Несферичность вращающейся планеты

Так как планета вращается вокруг неподвижной оси, и все действующие в системе силы являются центральными, то эта ось является осью симметрии планеты. Рассмотрим любое сечение планеты плоскостью, в которой лежит ось вращения, и будем решать двумерную задачу о поиске границы сечения. Введём прямоугольную систему координат \(OXY\) с началом в центре планеты, ось \(Y\) сонаправим с осью вращения планеты (см. рис. 1.236). Поверхность планеты получится в результате вращения найденной кривой \(y(x)\) вокруг указанной оси.

Перейдём в неинерциальную систему отсчёта, вращающуюся вместе с планетой с угловой скоростью \(\omega\). В этой системе отсчёта жидкость покоится. Потенциальная энергия любого элемента жидкости массой \(\Delta m\), лежащего на поверхности планеты и имеющего координаты \((x, y)\), складывается из потенциальной энергии в поле силы тяжести \(U_{\text{гр}}\) и потенциальной энергии в поле центробежных сил \(U_{\text{цб}}\). Поскольку несферичность планеты мала, то можно считать, что создаваемое ею гравитационное поле почти не отличается от поля сферической планеты, и \(U_{\text{гр}} \approx -\dfrac{G\Delta mM}{\sqrt{x^2 + y^2}}\), где \(G\) — гравитационная постоянная. Для энергии \(U_{\text{цб}}\) имеем: \(U_{\text{цб}} = -\Delta m\omega^2x^2/2\).

Так как все точки, лежащие на поверхности планеты, неподвижны, а следовательно, имеют одинаковую энергию, то сумма \(U_{\text{гр}}\) и \(U_{\text{цб}}\) есть величина постоянная при любых \(x\) и \(y\) (иначе говоря, поверхность планеты является эквипотенциалью): \[-\dfrac{G\Delta mM}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \dfrac{\Delta m\omega^2x^2}{2} = \text{const}.\] Написанное уравнение представляет собой уравнение искомой границы сечения. Постоянную величину \(\text{const}\) найдём из условия: \(y = R_1\) при \(x = 0\). Отсюда \(\text{const} = -G\Delta mM/R_1\) (заметим, что \(R_1\) неизвестно). После этого уравнение границы сечения принимает вид: \[GM\left(\dfrac{1}{R_1} - \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) = \dfrac{\omega^2x^2}{2}.\] При \(y = 0\) координата \(x\) принимает значение \(x = R_2\) (тоже неизвестное). Тогда из последнего уравнения получаем: \[GM\dfrac{R_2 - R_1}{R_1} = \dfrac{\omega^2R_2^3}{2}.\] Учитывая, что несферичность мала, то есть \(R_1, R_2 \sim R\), и что \(\dfrac{R_2 - R_1}{R_1} = \delta\), окончательно находим: \(\delta \approx \dfrac{\omega^2R^3}{2GM}\).

Заметим, что несферичность попросту равна отношению \(U_{\text{цб}}/U_{\text{гр}}\) при \(x = R\), \(y = 0\), то есть на экваторе планеты.

Интересно воспользоваться полученной формулой для оценки величины \(\delta_{\text{З}}\) несферичности Земли. Учитывая, что угловая скорость суточного вращения Земли равна \(\omega = 2\pi/T \approx 7{,}3\cdot10^{-5}\) с\(^{-1}\), средний радиус Земли \(R \approx 6370\) км, а ускорение свободного падения на её поверхности \(g \approx 9{,}8\) м/с\(^2\), получим: \(\delta_{\text{З}} = \dfrac{\omega^2R}{2g} \approx \dfrac{1}{580}\). На самом деле несферичность Земли составляет \(\sim 1/300\), то есть наша оценка, основанная на модели жидкой планеты, является довольно грубой.