Стержень на бревне

Обозначим ось бревна буквой \(O\), точку касания стержня и бревна — \(A\), конец стержня, нависающий над бревном — \(B\), точку касания бревна и верёвки, удерживающей стержень, буквой \(C\) (см. рис. 1.184). Треугольники \(OAB\) и \(OCB\) равны как прямоугольные, имеющие общую гипотенузу и равные катеты. Поэтому \(\angle OBA = \angle OBC = \varphi\).

Поскольку верёвка, удерживающая стержень, невесома, и трения нет, то её сила натяжения постоянна по всей длине и равна \(Mg\), где \(M\) — масса груза. Так как бревно скользкое, то для того, чтобы стержень находился в равновесии, необходимо, чтобы проекция суммарной силы на направление вдоль стержня была равна нулю: \[mg\sin\alpha = Mg\cos(\pi - 2\varphi) = Mg(\sin^2\varphi - \cos^2\varphi).\] Здесь \(m\) — масса стержня. Так как \(AB = R/\sqrt2\), то из треугольника \(OAB\) находим: \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{OA}{AB} = \sqrt2\). Далее, воспользовавшись известными тригонометрическими соотношениями, получаем: \[\dfrac{M}{m} = \dfrac{\sin\alpha}{\sin^2\varphi - \cos^2\varphi} = \dfrac{\sin\alpha(\operatorname{tg}^2\varphi + 1)}{\operatorname{tg}^2\varphi - 1} = \dfrac{3}{2}.\]