Автомобиль в гору

Так как движущийся автомобиль не переворачивается, то величины \(N_{\text{н}}\) и \(N_{\text{в}}\) нормальных составляющих сил реакции дороги, приложенных к нижним и к верхним колёсам, удовлетворяют следующим уравнениям для моментов сил: \[N_{\text{н}}\cdot 2L = mg(L\cos\alpha + H\sin\alpha),\] \[N_{\text{в}}\cdot 2L = mg(L\cos\alpha - H\sin\alpha).\] Здесь первое уравнение записано относительно оси, проходящей через точки касания дороги верхними колёсами, а второе — относительно оси, проходящей через точки касания дороги нижними колёсами. Из этих уравнений видно, что вне зависимости от того, какие колёса являются ведущими, \(N_{\text{н}} > N_{\text{в}}\).

Автомобиль движется в гору под действием силы тяги, которая представляет собой тангенциальную составляющую сил реакции дороги, действующих на ведущие колёса. Эта сила не может превышать величину силы трения покоя, равную \(\mu N_i\), где \(N_i\) — сила реакции, действующая либо на нижние, либо на верхние колёса — в зависимости от того, какие из них являются ведущими. При движении автомобиля в гору с очень малой скоростью сила тяги должна быть равна «скатывающей» силе: \(\mu N_i = mg\sin\alpha\), то есть автомобиль может преодолеть участок дороги с тем большим углом наклона, чем больше нормальная сила реакции, действующая на его ведущие колёса. Следовательно, автомобиль должен ехать в гору так, чтобы его ведущие колёса находились снизу, то есть автомобилю с передними ведущими колёсами выгоднее въезжать на поднимающийся участок дороги задним ходом. При этом \(\mu N_{\text{н}} = mg\sin\alpha\), откуда, с учётом выражения для \(N_{\text{н}}\), получаем: \[\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{\mu L}{2L - \mu H}.\] Для того чтобы автомобиль не перевернулся, ещё должно выполняться дополнительное условие \(N_{\text{в}} > 0\), или \(\operatorname{tg}\alpha < L/H\). С учётом полученного выражения для \(\alpha\), это условие можно переписать в виде: \(\mu < L/H\). Так как \(\mu < 1\), а для реальных автомобилей \(L/H \gg 1\), то полученное условие практически всегда выполняется.

Кроме того, на ведущих колёсах автомобиля должен создаваться крутящий момент \[M = \mu N_{\text{н}}R = mgR\sin\alpha = \dfrac{\mu mgRL}{\sqrt{(2L - \mu H)^2 + (\mu L)^2}}.\] При этом мощность двигателя может быть любой, так как в условии задачи нет никаких ограничений на минимальную скорость движения автомобиля (он может въезжать в гору и очень медленно).