Бесконечная лестница пружин

Обозначим смещение верхней платформы под действием приложенной к ней силы \(F\) через \(\Delta x\), а следующих, расположенных ниже платформ, под действием приложенных к ним сил \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\), …{} — через \(\Delta x_1\), \(\Delta x_2\), \(\Delta x_3\), …{} соответственно (см. рис. 1.201). Тогда из условия равновесия верхней платформы (сумма действующих на неё сил равна нулю) следует, что общий коэффициент жёсткости равен: \[k_\Sigma = \dfrac{F}{\Delta x} = \dfrac{k\Delta x + 2k(\Delta x - \Delta x_1)}{\Delta x} = 3k - 2k\dfrac{\Delta x_1}{\Delta x} = k\left(3 - 2\dfrac{\Delta x_1}{\Delta x}\right).\]

Из условий равновесия расположенных ниже платформ следует, что \[\begin{aligned} F_1 &= k(\Delta x - \Delta x_1) = k\Delta x_1 + k(\Delta x_1 - \Delta x_2),\\ F_2 &= k(\Delta x_1 - \Delta x_2) = k\Delta x_2 + k(\Delta x_2 - \Delta x_3),\\ F_3 &= k(\Delta x_2 - \Delta x_3) = k\Delta x_3 + k(\Delta x_3 - \Delta x_4),\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots \end{aligned}\] Складывая эти уравнения и сокращая на \(k\), получаем: \[\Delta x = 2\Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 + \Delta x_4 + \ldots\qquad (1)\] Ясно, что общий коэффициент жёсткости правой или левой части данной бесконечной системы пружин не должен зависеть от номера ступени. Поэтому \[\dfrac{F_1}{\Delta x_1} = \dfrac{F_2}{\Delta x_2} = \dfrac{F_3}{\Delta x_3} = \ldots,\] или \[\dfrac{k(\Delta x - \Delta x_1)}{\Delta x_1} = \dfrac{k(\Delta x_1 - \Delta x_2)}{\Delta x_2} = \dfrac{k(\Delta x_2 - \Delta x_3)}{\Delta x_3} = \ldots\] Отсюда \[\dfrac{\Delta x}{\Delta x_1} = \dfrac{\Delta x_1}{\Delta x_2} = \dfrac{\Delta x_2}{\Delta x_3} = \ldots \equiv n > 1,\] поскольку деформации нижних пружин меньше, чем верхних. Таким образом, \[\Delta x_1 = \dfrac{\Delta x}{n};\quad \Delta x_2 = \dfrac{\Delta x_1}{n} = \dfrac{\Delta x}{n^2};\quad \Delta x_3 = \dfrac{\Delta x_2}{n} = \dfrac{\Delta x}{n^3};\quad \ldots\] Подставляя полученные выражения для \(\Delta x_1\), \(\Delta x_2\), \(\Delta x_3\), …{} в формулу (1), получаем: \[\Delta x = 2\dfrac{\Delta x}{n} + \dfrac{\Delta x}{n^2} + \dfrac{\Delta x}{n^3} + \dfrac{\Delta x}{n^4} + \ldots\] Отсюда, применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, имеем: \[n = 1 + \left(1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{n^3} + \ldots\right) = 1 + \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{n}} = 1 + \dfrac{n}{n - 1} = \dfrac{2n - 1}{n - 1},\] или \(n^2 - 3n + 1 = 0\).

Решая это квадратное уравнение, находим: \(n_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\). Поскольку \(n > 1\), то \(n = \dfrac{\Delta x}{\Delta x_1} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}\). С учётом этого, окончательно получаем: \[k_\Sigma = k\left(3 - 2\dfrac{\Delta x_1}{\Delta x}\right) = k\left(3 - 2\cdot\dfrac{2}{3 + \sqrt{5}}\right) = k\cdot\dfrac{5 + 3\sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = k\sqrt{5}.\]