Тело на верёвках в лифте

Когда лифт неподвижен, на тело действуют сила тяжести \(mg\), сила натяжения верхней верёвки \(F\) и силы натяжения нижних верёвок \(F_0\). Из условия равновесия получаем: \[F = mg + 2F_0.\qquad(1)\] При движении лифта с постоянным ускорением \(a\), направленным вверх, в установившемся режиме тело движется с тем же ускорением \(a\). Поэтому силы натяжения верёвок должны измениться. Из второго закона Ньютона: \[F' - mg - 2F_0' = ma,\qquad(2)\] где \(F'\) и \(F_0'\) — силы натяжения верхней и нижних верёвок.

Для того, чтобы записать ещё одно недостающее для решения задачи уравнение, учтём, что сила натяжения верёвки зависит от её удлинения \(x\) следующим образом: при \(x \leqslant 0\) сила \(F = 0\), при \(x > 0\) сила \(F = kx\), где \(k\) — некоторый коэффициент, одинаковый для всех верёвок. Отсюда получаем, что при неподвижном лифте удлинения верхней и нижних верёвок \(x\) и \(x_0\) связаны соотношением: \[\dfrac{x}{F} = \dfrac{x_0}{F_0} = \dfrac{1}{k}.\] В лифте, движущемся с направленным вверх ускорением \(a\), верхняя верёвка дополнительно растянется на величину \(y\), а нижние укоротятся на такую же величину. Таким образом, удлинения верёвок будут равны \[x' = x + y,\quad x_0' = x_0 - y.\] Возможны два случая: \(x_0' > 0\) и \(x_0' \leqslant 0\).

В первом случае \[F_0' = kx_0',\quad F' = kx',\quad F_0' - F_0 = -ky,\quad F' - F = ky.\] Вычитая из соотношения (2) соотношение (1), получаем: \[F' - F = ma + 2(F_0' - F_0),\] или \(ma = 3ky\), то есть \(y = \dfrac{ma}{3k}\). Отсюда сила натяжения верхней верёвки \[F' = F + ky = mg + 2F_0 + \dfrac{ma}{3},\] а силы натяжения нижних верёвок \[F_0' = F_0 - ky = F_0 - \dfrac{ma}{3}.\] Указанный случай возможен при \(F_0 - \dfrac{ma}{3} > 0\), то есть при \(a < 3F_0/m = 1{,}5\) м/с\(^2\). Этому неравенству соответствует заданное в условии задачи ускорение \(a_1 = 1\) м/с\(^2\). Следовательно, при этом ускорении \[F' = m\left(g + \dfrac{a_1}{3}\right) + 2F_0 \approx 111\text{ Н}.\] В другом случае (при \(x_0' \leqslant 0\)), когда \(a \geqslant 3F_0/m = 1{,}5\) м/с\(^2\), нижние верёвки не натянуты, то есть \(F_0' = 0\), а \(F' = m(g + a)\). Этот случай реализуется при ускорении лифта \(a_2 = 2\) м/с\(^2\). При этом ускорении \[F' = m(g + a_2) = 118\text{ Н}.\]