Две шайбы на гладкой поверхности

Если \(S_2 \neq 0\), то шайбы за рассматриваемый промежуток времени соударялись. Пусть \(v\) — скорость первой шайбы до соударения. Соударение одинаковых шайб удобно исследовать в системе отсчёта, движущейся со скоростью \(v/2\). В этой системе отсчёта шайбы до соударения движутся навстречу друг другу со скоростями \(v/2\), противоположными по направлению. После столкновения шайбы разлетятся в противоположные стороны со скоростями \(\alpha v/2\), где \(\alpha\) — число от 0 до 1. В неподвижной системе отсчёта скорости шайб после соударения будут равны \[v_1 = \dfrac{v}{2}(1 - \alpha),\quad v_2 = \dfrac{v}{2}(1 + \alpha),\] а пути, пройденные шайбами за время \(t\): \[S_1 = v\tau + \dfrac{v}{2}(1 - \alpha)(t - \tau),\quad S_2 = \dfrac{v}{2}(1 + \alpha)(t - \tau).\] Здесь \(\tau > 0\) — время, прошедшее от начала движения первой шайбы до момента её соударения со второй шайбой. Складывая два последних равенства, получаем: \(S_1 + S_2 = vt\), откуда однозначно определяется начальная скорость первой шайбы: \[v = \dfrac{S_1 + S_2}{t}.\] Подставляя эту скорость в выражение для \(S_2\), находим: \[\dfrac{\tau}{t} = 1 - \dfrac{2S_2}{(S_1 + S_2)(1 + \alpha)}.\] Начальное расстояние между шайбами \[l = v\tau = \dfrac{(S_1 + S_2)\tau}{t} = S_1 + S_2 - \dfrac{2S_2}{1 + \alpha}.\] Поскольку \(0 \leqslant \alpha \leqslant 1\), то \(l\) может принимать следующие значения: \(S_1 - S_2 \leqslant l \leqslant S_1\). Это условие следует дополнить ограничением \(l \geqslant 0\). С его учётом получаем диапазон возможных значений начального расстояния между шайбами при \(S_2 \neq 0\): \[\max(S_1 - S_2;\,0) \leqslant l \leqslant S_1.\] При \(S_2 = 0\) шайбы не соударялись, что означает \(l \geqslant S_1\) и \(v = S_1/t\).