Заряженный шар (классика)

В материале проводника поля нет, поэтому заряд \(q_1\) вместе с индуцированным на стенке полости зарядом \(-q_1\) даёт нулевой суммарный заряд внутри замкнутой поверхности. Потенциал шара равен потенциалу его центра, а потенциал в полости отличается от него только вкладом \(q_1\) и индуцированного заряда.

Поле в материале шара отсутствует. Окружим полость поверхностью: поток вектора напряжённости через неё равен нулю, поэтому по теореме Гаусса сумма зарядов внутри неё равна нулю. Значит, индуцированный заряд на стенке полости равен \(-q_1\). Объёмных зарядов в проводнике нет, суммарный заряд шара \(Q\), поэтому заряд на его внешней поверхности равен \(Q + q_1\).

Заряды внутри полости и на её стенке не создают поля снаружи полости, поэтому потенциал шара можно найти как потенциал его центра. Он создаётся только зарядом на внешней поверхности \(Q + q_1\) и зарядом \(q_2\): \[\varphi_{\text{ш}} = k\left(\frac{Q + q_1}{R} + \frac{q_2}{r_2}\right).\]

Разность потенциалов между центром полости \(O\) и точкой \(A\) на её стенке создают только заряд \(q_1\) и заряд \(-q_1\) на стенке (заряд \(q_2\) экранируется поверхностью шара). Потенциалы в центре полости и на её стенке: \[\varphi'_O = \frac{kq_1}{r_1} - \frac{kq_1}{r}, \qquad \varphi'_A = 0.\] Поскольку \(\varphi_A = \varphi_{\text{ш}}\), получаем \[\varphi_O - \varphi_A = \frac{kq_1}{r_1} - \frac{kq_1}{r},\] откуда \[\varphi_O = k\left(\frac{Q + q_1}{R} + \frac{q_2}{r_2} + q_1\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r}\right)\right).\]