Задачи › Теорема единственности, экранирование

Поле цилиндра

  1. Поле цилиндра

    ВсОШ 2021/22, 10 кл.
    7/10

    Бесконечно длинный незаряженный металлический цилиндр радиуса \(R\) расположен в однородном электрическом поле \(\vec E_0\). Ось цилиндра и вектор напряжённости поля горизонтальны и взаимно перпендикулярны (рис. 1). Напряжённость поля направлена вправо. На поверхности цилиндра установилось некоторое распределение индуцированных зарядов.

    Рисунок

    Далее рассмотрим бесконечно длинный тонкостенный непроводящий цилиндр такого же радиуса \(R\) вне поля \(\vec E_0\) вдали от первого (проводящего) цилиндра. Поместим на его поверхность заряды так, чтобы зависимость плотности заряда от угла \(\theta\) к горизонту (рис. 2) совпадала для обоих цилиндров. Непроводящий цилиндр расположен горизонтально в поле тяжести. Ускорение свободного падения равно \(\vec g\).

    Рисунок

    Поместим внутрь непроводящего цилиндра гладкий точечный положительный заряд \(q\) массой \(m\). Определите:

    1. изменение суммарной потенциальной энергии точечного заряда (энергии в поле тяжести и в электрическом поле) при перемещении его из крайнего левого положения в крайнее правое;

    2. точечный заряд помещают в самое нижнее положение и сообщают ему начальную скорость \(v_0\), направленную влево, перпендикулярно оси цилиндра. Найдите максимальную скорость заряда \(v_{\text{макс}}\) в процессе дальнейшего движения;

    3. при каких значениях \(v_0\) точечный заряд совершит полный оборот?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Внутри металлического цилиндра поле равно нулю, поэтому внутри непроводящего цилиндра поле должно быть однородным и равным \(-\vec E_0\). Дальше поле тяжести и электрическое поле вместе дают однородную суммарную силу.

    Ответ

    1) \(\Delta W_{\text{пот}} = 2qE_0R\);  2) \(v_{\text{макс}} = \sqrt{v_0^2 + 2R\left(\sqrt{g^2 + \left(\dfrac{qE_0}{m}\right)^2} - g\right)}\);  3) \(v_0 > \sqrt{R\left(2g + 3\sqrt{g^2 + \left(\dfrac{qE_0}{m}\right)^2}\right)}\).

    Решение

    Внутри металлического цилиндра электрическое поле равно нулю. Значит, заряды на его поверхности создают внутри поле \(\vec E = -\vec E_0\). Так как распределение зарядов на поверхности непроводящего цилиндра такое же, внутри него создано однородное поле \(-\vec E_0\).

    Сила тяжести при перемещении из левого положения в правое работы не совершает (высота не меняется). Изменение потенциальной энергии равно минус работе поля: \(\Delta W_{\text{пот}} = -A_E = 2qE_0R\).

    Введём декартову систему с центром в центре цилиндра, ось \(x\) направим вправо, ось \(y\) — вверх. Потенциальная энергия в зависимости от угла \(\theta\): \[W_{\text{пот}}(\theta) = mgR\sin\theta + qE_0R\cos\theta = A\cos(\theta - \alpha),\] где \(A = R\sqrt{(mg)^2 + (qE_0)^2}\), \(\sin\alpha = \dfrac{mgR}{A}\), \(\cos\alpha = \dfrac{qE_0R}{A}\). Минимум энергии равен \(-A\), начальная энергия в самой нижней точке \(W_0 = -mgR\).

    Закон сохранения энергии \(W_0 + \dfrac{mv_0^2}{2} = -A + \dfrac{mv_{\text{макс}}^2}{2}\) даёт \[v_{\text{макс}} = \sqrt{v_0^2 + 2R\left(\sqrt{g^2 + \left(\dfrac{qE_0}{m}\right)^2} - g\right)}.\]

    Для полного оборота скорость должна быть неотрицательной во всех точках, а сила реакции стенки — неотрицательной. Наибольшая потенциальная энергия \(W = A\) достигается в точке \(D\), где результирующая сила поля перпендикулярна стенке (радиальна). Там условие отсутствия отрыва \[\frac{mv_D^2}{R} \ge \sqrt{(mg)^2 + (qE_0)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{mv_D^2}{2} \ge \frac{A}{2}.\] Закон сохранения энергии от начала до точки \(D\): \(\dfrac{mv_0^2}{2} - mgR = A + \dfrac{mv_D^2}{2} \ge \dfrac{3A}{2}\). Отсюда \[v_0 > \sqrt{R\left(2g + 3\sqrt{g^2 + \left(\dfrac{qE_0}{m}\right)^2}\right)}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх