Задачи › Вольт-амперная характеристика, нелинейные элементы

Термоисточник

  1. Термоисточник

    ВсОШ 2021/22, 10 кл.
    6/10

    Источник состоит из соединённых последовательно идеального источника постоянного напряжения \(\mathcal{E}\) и терморезистора, сопротивление которого зависит от температуры по закону \[R = R_0\bigl(1 + \alpha(t - t_0)\bigr),\] где \(R_0\) — сопротивление резистора при температуре \(t_0 = 0^\circ\)C, \(t\) — установившаяся температура резистора, \(\alpha\) — постоянный коэффициент.

    Рисунок

    На графике приведена нагрузочная кривая источника, то есть зависимость установившегося напряжения \(U_{AB}\) между его клеммами от силы протекающего через него тока \(I\). При протекании тока \(I_1 = 0{,}55\) А цепь разрывается, так как резистор плавится. Температура плавления известна и равна \(t_{\text{пл}} = 306^\circ\)C. Мощность тепловых потерь в окружающую среду от нагретого до температуры \(t\) резистора равна \(N = \beta(t - t_{\text{среды}})\), где \(\beta\) — постоянный неизвестный коэффициент. Считайте, что температура окружающей среды \(t_{\text{среды}} = t_0\). Определите:

    1. напряжение \(\mathcal{E}\) идеального источника;

    2. сопротивление \(R_0\);

    3. напряжение \(U_{AB}\) между клеммами \(A\) и \(B\), если к ним подключить резистор сопротивлением \(10\) Ом;

    4. величину \(\alpha\);

    5. какую силу тока гарантированно не сможет пропускать аналогичный резистор, имеющий те же значения параметров \(R_0\) и \(\alpha\), но очень высокую температуру плавления.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    В стационарном режиме выделяющаяся мощность \(I^2R\) равна тепловым потерям \(N\). Выразите \(t - t_0\) через \(I\), а затем сопротивление резистора через \(I\).

    Ответ

    1) \(\mathcal{E} = 10\) В;  2) \(R_0 = 10\) Ом;  3) \(U_{AB} \approx 4{,}0\) В;  4) \(\alpha \approx 5{,}1 \cdot 10^{-3}\) \(^\circ\)C\(^{-1}\);  5) \(I_{\text{макс}} = \sqrt{\dfrac{\beta}{R_0\alpha}} \approx 0{,}71\) А.

    Решение

    При токе \(I\) в стационарном режиме \(\beta(t - t_0) = I^2 R_0\bigl(1 + \alpha(t - t_0)\bigr)\), откуда \[t - t_0 = \frac{I^2 R_0}{\beta - I^2 R_0\alpha}.\] Напряжение на клеммах \(U_{AB} = \mathcal{E} - IR(t)\), и с учётом выражения выше \[U_{AB} = \mathcal{E} - \frac{I R_0 \beta}{\beta - I^2 R_0 \alpha}.\] При \(I \to 0\) получаем \(U_{AB} = \mathcal{E} = 10\) В. По касательной к начальному участку графика \(R_0 = 10\) Ом.

    Подключение резистора \(10\) Ом даёт вольт-амперную характеристику \(U = 10\,I\) (в Ом \(\cdot\) А). Её пересечение с нагрузочной кривой даёт \(I \approx 0{,}4\) А и \(U_{AB} \approx 4{,}0\) В.

    В точке \(I = 0{,}5\) А напряжение на клеммах обращается в ноль, то есть сопротивление терморезистора равно \(\mathcal{E}/I = 20\) Ом. Из \(R = \dfrac{R_0\beta}{\beta - I^2R_0\alpha}\) получаем \(\beta/\alpha = 5{,}0\) Вт (такое же значение получается по другим точкам графика).

    При температуре плавления \(I_1 = 0{,}55\) А: \[t_{\text{пл}} - t_0 = \frac{I_1^2 R_0}{\beta - I_1^2 R_0\alpha} = \frac{3{,}025}{1{,}975\,\alpha} \quad\Rightarrow\quad \alpha \approx 5{,}1 \cdot 10^{-3}~^\circ\text{C}^{-1}.\]

    Ток через резистор при температуре \(t\) выражается через \(t - t_0\): \[I^2 = \frac{\beta}{R_0}\cdot\frac{1}{\dfrac{1}{t - t_0} + \alpha}.\] При \(t \to \infty\) ток стремится к \(I_{\text{макс}} = \sqrt{\dfrac{\beta}{R_0\alpha}} \approx 0{,}71\) А. Значит, любой ток больше \(0{,}71\) А резистор гарантированно не сможет пропустить ни при какой температуре плавления.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх