ВАХ цепочек

На левом рисунке ниже изображены первые звенья цепочки, о которой говорится в пункте 1, и указаны токи \(I_1\) и \(I_2\), текущие через участки \(CA\) и \(DA\).

При данной в задаче вольт-амперной характеристике идеального диода его сопротивление равно бесконечности, если подаваемое на него напряжение меньше \(\Delta U\), иначе напряжение на диоде при любом токе равно \(\Delta U\). Учитывая эту особенность диода и применяя закон Ома, получим \[I_1 = \frac{U - \Delta U}{R}, \qquad I_2 = \frac{U - 2\Delta U}{R}.\] Аналогичным образом можно выразить ток \(I_i\), текущий через \(i\)-й резистор: \[I_i = \frac{U - i\Delta U}{R}, \qquad\text{если}\qquad i < N = U/\Delta U \gg 1. \tag{194}\] Токи в остальных резисторах отсутствуют, так как напряжение на \((i-1)\)-м резисторе оказывается меньше \(\Delta U\). Все токи \(I_i\) стекаются в узел \(A\). Поэтому \[I = \sum_{i=1}^{N} I_i = N\frac UR - \frac{\Delta U}{R}\sum_{i=1}^{N} i. \tag{195}\] По формуле (194) имеем \(N \gg 1\). Поэтому \[\sum_{i=1}^{N} i = \frac{N+1}{2}N \approx \frac{N^2}{2}.\] Подставляя в формулу (195) найденное выражение суммы, а также соотношение (194), получим \[I = \frac{U^2}{\Delta U\,R} - \frac{\Delta U}{2R}\left(\frac{U}{\Delta U}\right)^2 = \frac{U^2}{2\Delta U\,R},\] то есть вольт-амперная характеристика имеет вид параболы.

Можно предложить и более короткий способ решения. Уменьшение на единицу числа звеньев бесконечной цепочки не изменяет её вольт-амперной характеристики. Другими словами, одна и та же функция связывает как ток \(I\) с напряжением между точками \(BA\), так и ток на участке \(CD\) с напряжением между точками \(CA\). Однако значения этих напряжений отличаются на \(\Delta U\), так что если напряжение между \(B\) и \(A\) равно \(U\), то напряжение между \(C\) и \(A\) равно \(U - \Delta U\). Соответственно отличаются значения функции \(I(U)\): \[I(U - \Delta U) = I(U) - \frac{dI}{dU}\Delta U, \tag{196}\] если \(\Delta U \ll U\). Ток \(I(U)\) втекает в узел \(C\), а \(I(U - \Delta U)\) вытекает из него. Поэтому \[I(U) = I(U - \Delta U) + \frac{U - \Delta U}{R}. \tag{197}\] Из формул (196) и (197) следует, что \[\frac{dI}{dU}\Delta U = \frac{U - \Delta U}{R} \approx \frac UR,\] откуда после интегрирования находим \[I = \frac{U^2}{2\Delta U\,R},\] поскольку при \(U = 0\) ток \(I\) также равен нулю.

Во втором пункте рассматривается цепочка, последние звенья которой изображены на правом рисунке выше.

Из рисунка видно, что \(I_1 = I_0\). Ток \(I_2\) находим из соотношения \[I_2R + \Delta U = I_1R + 2\Delta U + I_0R, \qquad\text{или}\qquad I_2 = \frac{\Delta U}{R} + I_1 + I_0 = 2I_0 + \frac{\Delta U}{R}. \tag{198}\] Ток \(I_3\) разветвляется в узле \(C\). Поэтому \(I_3 = I_2 + I_1\). Аналогичное соотношение справедливо для любого нечётного \(k \geqslant 3\): \[I_k = I_{k-1} + I_{k-2}. \tag{199}\] Для любого чётного \(k \geqslant 2\) выполняется соотношение, аналогичное (198): \[I_k = I_{k-1} + I_{k-2} + \frac{\Delta U}{R}. \tag{200}\] Второе равенство из (198) позволяет предположить, что для любых \(k\) токи можно представить в виде \[I_k = c_kI_0 + b_k\frac{\Delta U}{R}, \tag{201}\] подобрав \(a_k\) и \(b_k\) так, чтобы были обеспечены условия (199) и (200), а также \(I_1 = I_0\). Нетрудно сообразить, что должны выполняться соотношения \[c_0 = c_1 = 1; \quad c_k = c_{k-1} + c_{k-2} \quad\text{при}\quad k \geqslant 2;\] \[b_0 = b_1 = 0; \quad b_k = b_{k-1} + b_{k-2} \quad\text{при нечётных}\quad k \geqslant 3,\] \[b_k = b_{k-1} + b_{k-2} + 1 \quad\text{при чётных}\quad k \geqslant 2.\] Именно такие соотношения определяют известную в математике последовательность чисел Фибоначчи \(a_k\), так что \(c_k = a_{k+1}\). Числа \(b_k\) тоже образуют последовательность Фибоначчи, только \[b_k = a_k - 1 \quad\text{при нечётных}\quad k \geqslant 3,\] \[b_k = a_k \quad\text{при чётных}\quad k \geqslant 2.\] Искомый в задаче ток \(I\) соответствует току \(I_{2N-1}\), втекающему в \(N\)-е звено. Используя заданную в условии формулу \(n\)-го члена последовательности Фибоначчи, получим ответ: \[I = I_0\frac{\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{2N} - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{2N}}{\sqrt5} + \frac{\Delta U}{R}\cdot\frac{\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{2N-1} - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{2N-1}}{\sqrt5} - \frac{\Delta U}{R}.\] Напряжение на цепочке: \[U = 2\Delta U + (I_{2N-1} + I_{2N-2})R.\] Подставляя найденные значения токов, получим \[U = I_0R\frac{\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{2N+1} - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{2N+1}}{\sqrt5} + \Delta U\frac{\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{2N} - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{2N}}{\sqrt5} + \Delta U.\] В третьем пункте анализируется бесконечная цепочка, изображённая слева на рисунке ниже; справа изображена её эквивалентная схема.

Элемент \(X\) имеет такую же вольт-амперную характеристику \(I = I(U)\), что и вся цепь, так как свойства бесконечной цепочки не изменяются при уменьшении числа звеньев. На втором рисунке ниже представлены графики вольт-амперной характеристики диода \(VD\) и лампочки \(HL\). При малых \(U\) оба графика можно приблизительно заменить прямыми линиями, измерить их наклон, и тем самым найти эквивалентные сопротивления диода \(R_d\) и лампочки \(R_b\). Найдём сопротивление \(R_x\) элемента \(X\) исходя из того, что для бесконечной цепочки сопротивление между точками \(A\) и \(B\) равно \(R_x\) (рисунок выше). Тогда величина \(R_x\) является корнем уравнения \[R_x^2 - R_xR_d - R_dR_b = 0.\] Получаем \[R_x = \frac{R_d}{2}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{4R_b}{R_d}}\right).\] Строим на графике прямую, наклон которой соответствует \(R_x\) (второй рисунок). Это начало искомой вольт-амперной характеристики, которая относится также и к участку цепи \(X\) (рисунок выше). Возьмём на этом участке некоторую точку \(A\). Ей соответствует напряжение \(U_b\) на первой лампочке и ток \(I_x\), текущий через элемент \(X\). Ток в начале цепи \(I = I_b + I_x\). Откладываем это значение на вертикальной оси. Находим точку \(C\) на графике \(VD\) на втором рисунке. Ей соответствует значение \(U_d\) напряжения на первом диоде. Остаётся найти \(U = U_d + U_b\) и построить точку \(M\) с координатами \(U\) и \(I\). Взяв точки в иных местах линейного участка, найдём другие точки искомой вольт-амперной характеристики (второй рисунок).